Mengen in der komplexe Zahlenebene: { z ∈ℂ | |z+i| > 1}

Question

Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Zahlenebene

{ z ∈ℂ | |z+i| > 1}

Ich weiß was man unter realteil und dem imaginären Teil versteht, aber ich weiß nicht wie ich die Mengen bei diesen Aufgaben einzeichnen muss

kann mir jemand zeigen wie ich hier vorgehen muss?

Komplexe Zahlenebene.
Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Zahlenebene.

(a) \( \{z \in \mathbb{C}|| z+i |>1\} \)
(b) \( \{z \in \mathbb{C}|| \operatorname{Re}(z)|+2| \operatorname{Im}(z) |<3\} \)
(c) \( \{z \in \mathbb{C}|| z-\mathrm{i}|<| z-1 |\} \)
(d) \( \left\{z \in \mathbb{C} | \operatorname{Re}\left(z^{2}\right)>1\right\} \)

Comments

Ich übersetze mal a): Das ist die Menge aller komplexen Zahlen z, deren Abstand von i größer als 1 ist, also das Äußere des Kreises um i mit dem Radius 1.

(Die Mengen sind oft Kreisfiguren, Halbebenen, Geraden usw,)

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Du meinst hier sicher:

"Ich übersetze mal a): Das ist die Menge aller komplexen Zahlen z, deren Abstand von -i größer als 1 ist, also das Äußere des Kreises um -i mit dem Radius 1."

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Danke für die Hilfe die a hab ich jetzt endlich verstanden

bei der b entsteht eine raute

aber die c verstehe ich auch nicht

habt ihr einen Tipp ?

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überleg dir welche Punkte von 1 und i den gleichen Abstand haben. Zeichne diese Linie ein und schraffiere auf der richtigen Seite.

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Ich hab auch die gleichen Aufgaben, ich vermute du studierst auch an der Universität Stuttgart :D. Naja ich hänge grad auch an der Aufgabe. Und werde durch die antworten auch nicht schlauen :/. Wie funktioniert die a) wenn man diese jetzt wirklich exakt zeichnen bzw. davor berechnen und dann Zeichnen will. Könnte man diese vielleicht nochmal ausführlicher erklären. Wäre sehr nett!

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Falls Du denkst, Du müsstest bei a) etwas rechnen, dann so:

Voraussetzung: Die Menge aller komplexen Zahlen z mit | z - a | = r ist ein Kreis mit Radius r um a in der Gaußschen Zahlenebene. In Mengenschreibweise: { z ∈ℂ | | z - a | = r }.

Nun die (ganze) Rechnung zur vorgelegten Menge: { z ∈ℂ | | z + i | > 1}= { z ∈ℂ | | z - (-i) | > 1 }.

Fehlt noch die Interpretation: vgl. dazu die anderen Beiträge hier.

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Wenn ich es richtig verstanden hab heißt es: Unser Kreis hat den Radius r ( in unserem Fall "1" ) mit dem Mittelpunkt bei (0,0)?

Jedoch was ich nicht verstehe ist: Zitat von Lu "Das ist die Menge aller komplexen Zahlen z, deren Abstand von -i größer als 1 ist, also das Äußere des Kreises um -i mit dem Radius 1."

Wie soll ich den Kreis zeichnen? Den Vektor -i einzeichnen und dann um diesen Vektor einen Kreis mit Radius 1 zeichnen?

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Ja. Und dann musst Du noch irgendwie kenntlich machen, das die z, um die es hier geht, eben außerhalb de Kreises liegen, ihr Abstand von -i ist ja größer (>) als 1!

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Passt des so?

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Cool! Auch der Kreis kommt der Wirklichkeit schon etwas nahe! :-)

(Man könnte dort, wo die grünen Striche genau auf der Kreislinie enden oder beginnen, noch durch einen leeren Kringel "o" andeuten, dass auch der Kreisrand nicht dazugehört.)

Allerdings möchte ich noch anmerken, dass der Mittelpunkt eigentlich nicht der Ursprung, sondern eben -i, also der Punkt ( 0 | -1 ), ist...

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Hoffe, dass du es so gemeint hast ? 

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Ja, sieht gut aus. Ich würde links oben und rechts unten noch etwas Grün verteilen, aber man kann es sicher auch so lassen.

Answer 1

Re(z^2) > 1

Re((x+iy)^2) = Re( x^2 + 2ixy - y^2) = x^2 - y^2 > 1

x^2 -1  > y^2

y^2 < x^2 -1

Falls |x|> 1

-√(x^2-1) < y < √(x^2 - 1)

|x| < 1 nicht möglich in R.

Bild der "Hyperbel": https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%5E2+%3C+x%5E2+-1

Antworten a) bis c) vgl. Kommentare zur Frage.

Comments

Kannst du mir bitte b) zeigen?