Zeigen, Kommutiert eine Matrix A ∈ R n×n mit allen reellen n × n-Matrizen, so ist A...

Question

Zeigen Sie: Kommutiert eine Matrix A ∈ R n×n mit allen reellen n × n-Matrizen (also AB = BA für alle B ∈ R n×n ), so ist A ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix E_n , d.h. A = λE_n für ein λ ∈ R.

Wie lässt sich das ganze nur mit Variablen auf  nxn Matrizen lösen?

Comments

Also die Aufgabenstellung lautet:

Zeigen Sie: Kummutiert eine Matrix A ∈ ℝ^{n x n} mit allen reellen n x n - Matirzen (also AB = BA für alle B ∈ ℝ^{n x n}), so ist A ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix E_n, d. h. A = λ * E_n für ein λ ∈ ℝ.

Hinweis: Betrachten Sie Matrizen E_i,j, die an der Stelle (i, j) den Eintrag 1, und sonst 0 haben.

Was ist mit "Stelle (i, j)" gemeint? Und wie müsste der Beweis aussehen?

Danke schon mal im Voraus für die Hilfe.

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Was ist mit "Stelle (i, j)" gemeint?

Das ist Zeile i und Spalte j. Was hast Du gedacht?

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Hallo Mathefreunde,

Brauche Hilfe bei der Aufgabe:

Sei K ein Körper und A € M(K) eine Matrix (M mit tiefgestellten nn, also Mnn), so dass AB = BA für alle B € M(K) gilt.

Zu beweisen ist, dass A = a I (I mit tiefgestellten n) für ein a € K ist.

Wie soll ich da angehen?

Wenn A die Matrix ist und I die Inverse... Was ist dann mit a?

Was ist der Zusammenhang zu B?

Bitte um Hilfe

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Ist denn I mit tiefgestellten n die Inverse oder die Einheitsmatrix?

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Es ist gemeint dass A unter diesen Umständen nur eine Diagonalmatrix sein kann. Die Frage gab es schon mehrmals.

Answer 1

betrachte für \(1 \leq i,j \leq n \):

\(E_{ij} \) als die nxn-Matrix die den Eintrag \(a_{ij} = 1 \) besitzt und sonst nur aus \(0\)en besteht.

Dann gilt ja \(AE_{ij} = E_{ij}A \).

Schau dir an was das für die Einträge von \(A\) bedeutet.

Gruß

Comments

aber wenn ich doch AE=EA betrachte, dann habe ich doch vorausgesetzt, dass B=E, aber das ist ja nicht  der Fall. Wie kann ich, also beweisen, dass B=E ist, aber keine andere Marix?
Und was für einen Vorteil hat es, das Ganze mit 1≤i,j≤n zu betrachten?

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Nein da steht nicht, dass B = E.

Du sollst auch gar nicht beweisen, dass B = E ist. Es geht hier um die Matrix A. Die Matrix B kann nach Voraussetzung jede beliebige nxn-Matrix sein. Deswegen meine obige Wahl mit der man (wie es in der Antwort ja auch angedeutet ist) Aussage über die Einträge A treffen kann, nämlich dass alle Elemente auf der Diagonale gleich sein müssen und außerhalb der Diagonale alle Einträge 0 sind.