Hallo Pia,
komisch, dass Dir noch niemand geantwortet hat. Wir hatten die Aufgabe sicher schon, ist aber schneller noch mal hingeschreiben als gesucht.
Also zum Induktionsanfang wird gezeigt, dass für eine kleines \(n\) hier z.B. \(n=0\) die gegeben Formel
$$\sum_{k=0}^n k(k+1) = \frac{n}{3}(n+2)(n+1)$$
stimmt. Setzt man für \(n=0\) so steht auf beiden Seiten eine \(0\); passt also. Im Induktionsschritt wird \(n\) um 1 erhöht. Und mit der Voraussetzung, dass es für \(n\) richtig war, gezeigt, dass es dann immer noch passt. Wir nehmen also z.B. den linken Term (man könnte auch mit dem rechten anfangen) und erhöhen \(n\) um 1
$$\sum_{k=0}^{n+1} k(k+1)$$
und formen das nun so um, dass der rechte Term mit einem ebenso um \(1\) erhöhten \(n\) heraus kommt. Bei den Summen ist es immer gut, sich auf die Summe bis \(n\) zu beziehen und den letzten Summanden extra zu schreiben:
$$\sum_{k=0}^{n+1} k(k+1) = \sum_{k=0}^{n} k(k+1) + (n+1)(n+2)$$
Jetzt kann man nämlich den Summenausdruck vorn schon durch den Induktionsanfang ersetzen
$$\space = \underbrace{\sum_{k=0}^{n} k(k+1)}_{\text{s.o.}} + (n+1)(n+2) = \frac{n}{3}(n+2)(n+1) + (n+1)(n+2) $$
Es bietet sich an, die Terme \((n+2)(n+1)\) auszuklammern
$$\begin{aligned} \space &= (n+2)(n+1)\left( \frac{n}{3} + 1\right)\\ &= (n+2)(n+1) \frac13 \left( n + 3\right)\\ &= \frac{n+1}{3}(n+3)(n+2)\end{aligned}$$
und dies ist genau der rechte Ausdruck von oben mit einem um 1 erhöhtem \(n\). q.e.d.
Die Dreieckszahlen
$$\sum_{k=1}^n k= \frac{n}{2}(n+1)$$
solltest Du jetzt leicht schaffen und die (allgemeinen) Pyramidenzahlen sind etwas schwieriger. Versuche es mal. Wenn Du nicht weiter weißt, so frage einfach nach.
