Binomialverteilung und Gummibärchen

Question

Aufgabe:

Aus aktuellen statistischen Auswertungen ist uns bekannt, dass bei 20 % aller produzierten Gummibärchen Tüten die Verpackung geknickt ist.

Zu Zwecken der Qualitätssicherung und aufgrund von neuen QM-Vorgaben, benötigen wir eine ausführliche Darstellung der zu erwartenden Wahrscheinlichkeiten für die anstehende externe Kontrolle der Produktionsanlagen. Bei solchen Kontrollen werden jeweils zehn der Süßigkeiten am Ende der laufenden Produktion entnommen und auf ihre Fehlerhaftigkeit kontrolliert.

Folgende Berechnungen der Wahrscheinlichkeiten nach den statistischen Auswertungen müssen den Kontrolleuren vorliegen:

1. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau die erwartete Anzahl der Süßigkeiten bei der Kontrolle fehlerhaft ist.

2. Die WS für weniger oder gleich zwei fehlerhafter Süßigkeiten bei der Kontrolle.

3. Die WS für mehr als die Hälfte fehlerhafter Süßigkeiten bei der Kontrolle.

Bitte stellt eine Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung aller einzeln möglichen Wahrscheinlichkeiten auf.

Problem/Ansatz:

Wie löse ich die Aufgaben zum Thema Binomialverteilung und Bernoulli-Versuche?

Answer 1

Erwartungswert: 10*0,2 = 2

n= 10, p= 0,2, k= ...

1.P(X=2) = (10über2)*0,2^2*0,8^8

2. (X<=2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

3. P(X>5) = 1- P(X<=5) = P(X=0)+P(X=1)+....P(X=5)

Verwende bei 2. und 3 das Ergebnis von 1.

Comments

Danke. Wie genau stelle ich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in einer Tabelle da ?. Zudem müsste  ich die Ergebnisse veranschaulicht mit Hilfe einer grafischen Darstellung darstellen, welche Diagramme/Darstellung oder so würden sich am besten für die Ergebnisse eignen?

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Danke. Wie genau stelle ich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in einer Tabelle da ?. Zudem müsste  ich die Ergebnisse veranschaulicht mit Hilfe einer grafischen Darstellung darstellen, welche Diagramme/Darstellung oder so würden sich am besten für die Ergebnisse eignen?

und wofür brauche ich den Erwartungswert?

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und wofür brauche ich den Erwartungswert?

damit du Nr. 1. lösen kannst.

Tabelle von X= 0 bis X=10

Darunter die WKTen eintragen.

https://matheguru.com/stochastik/binomialverteilung.html

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Zudem müsste ich die Ergebnisse veranschaulicht mit Hilfe einer grafischen Darstellung darstellen, welche Diagramme/Darstellung oder so würden sich am besten für die Ergebnisse eignen?

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P(X>5) = P(X<=5)

So notiert ist das sicherlich nicht ganz korrekt.

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Wie könnte ich eigentlich jetzt prüfen, ob es ein  Bernoulli-Versuch ist ?

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Wie könnte ich eigentlich jetzt prüfen, ob es ein Bernoulli-Versuch ist ?

Es gibt doch nur 2 Möglichkeiten. Entweder ist eine Gummibärchentüte geknickt oder nicht.

Damit ist es per Definition ein Bernoulli-Versuch.

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Eine Frage ist also die erwartete Anzahl immer der Erwartungswert ?

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P(X>5) = P(X<=5)

So notiert ist das sicherlich nicht ganz korrekt.

Danke, ich habe das fehlende 1- ergänzt.

Natürlich war das Gegenereignis gemeint.

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Eine Frage ist also die erwartete Anzahl immer der Erwartungswert ? Und was genau ist eigentlich ein Erwartungswert?

Answer 2

Bitte stellt eine Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung aller einzeln möglichen Wahrscheinlichkeiten auf.

n = 10 ; p = 0.2

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P(X = k)	0.1074	0.2684	0.3020	0.2013	0.0881	0.0264	0.0055	0.0008	0.0001	0.0000	0.0000

1. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau die erwartete Anzahl der Süßigkeiten bei der
Kontrolle fehlerhaft ist.

P(X = 2) = 0.3020

2. Die WS für weniger oder gleich zwei fehlerhafter Süßigkeiten bei der Kontrolle.

P(X ≤ 2) = 0.1074 + 0.2684 + 0.3020 = 0.6778

3. Die WS für mehr als die Hälfte fehlerhafter Süßigkeiten bei der Kontrolle.

P(X > 5) = 0.0055 + 0.0008 + 0.0001 = 0.0064

Comments

Danke.

Wir sollten die Ergebnisse veranschaulicht mithilfe einer grafischen Darstellung darstellen. Also wäre das Die Grafik da oben ?, Ist das ein Histogramm oder Balkendiagramm ?

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Bei Nummer 3 ist doch mehr als die Hälfte gefragt, warum zählt man dann 5 mit?, könnte man auch für  Nummer die Formel P(5≤X≤10)=^b∑_k=aB_n;p(k) nehmen ?

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Bei Nummer 3 ist doch mehr als die Hälfte gefragt, warum zählt man dann 5 mit?

Gut bemerkt. Die 5 sollte nicht mitgezählt werden. Das war also mein Fehler.

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Wir sollten die Ergebnisse veranschaulicht mithilfe einer grafischen Darstellung darstellen. Also wäre das Die Grafik da oben ?, Ist das ein Histogramm oder Balkendiagramm ?

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Ja. Das Histogramm da oben wäre eine grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeiten.

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Eine Frage ist also die erwartete Anzahl immer der Erwartungswert ? Und was genau ist eigentlich ein Erwartungswert?

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Eine Frage ist also die erwartete Anzahl immer der Erwartungswert ? Und was genau ist eigentlich ein Erwartungswert?

Ja das ist der Erwartungswert.

Der Erwartungswert ist die Anzahl an Treffern (hier defekte) die man im Mittel erwarten kann.

Also würfelst du mit einem Würfel 60 Würfe und jede Augenzahl hat die Wahrscheinlichkeit von 1/6, dann würden wir jeweils, 10 Einsen, 10 Zweien, 10 Dreien usw. erwarten.

Das bedeutet aber nicht, dass bei einem tatsächlichen Versuch immer 10 Sechsen bei 60 Würfen auftreten.

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Was beschreibt hier eigentlich die Zufallsvariable X, beschreibt sie die Anzahl der geknickten Brausetüten oder die Anzahl der fehlerhaften Süßigkeiten?

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Eine Süßigkeit ist hier eine Tüte Gummibärchen. X ist die Anzahl der defekten bzw. geknickten Gummibärchentüten.

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Ist das so richtig, wenn ich schreibe: die vorliegende Situation ist ein Bernoulli-Versuch, da hier nur zwei mögliche Ergebnisse eintreten können (gekickte Brausetüte und nicht geknickte Brausetüte) und die Wahrscheinlichkeit immer gleich bleibt (0,2)?

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Ja, das ist richtig.

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für was steht das n über k in der Bernoulli Formel und im Zusammenhang mit dieser Aufgabe ?

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Das wurde dir doch heute bereits schon einmal beantwortet

https://www.mathelounge.de/1007487/fur-was-steht-das-uber-bernoulli-formel-binomialkoeffizent

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Ist das ein Histogramm oder Balkendiagramm?

Das ist ein Säulendiagramm.

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Das ist ein Säulendiagramm.

Wie kommst du darauf? Ich hatte weiter oben geschrieben, dass es sich um ein Histogramm handelt.

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Da die Streifen von unten nach oben verlaufen, ist das (für mich) ein Säulendiagramm und kein Balkendiagramm. Ein Histogramm ist es (streng genommen) auch nicht, da die Wahrscheinlichkeiten entsprechend der Achsenbeschriftung in der Höhe stecken, und nicht in der Fläche.

Nun kann man natürlich einwenden, dass bei einer Streifenbreite von 1 wie hier ein Histogramm genau so aussieht wie ein Streifendiagramm und es daher viele Leute gibt, die es dann mit der Achsenbeschriftung nicht so genau nehmen, aber das muss man ja nicht unbedingt gut und richtig finden.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Histogramm

https://de.wikipedia.org/wiki/S%C3%A4ulendiagramm

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Na ja, du hast P(X) an die Achse geschrieben, bei einem Histogramm müsste dort aber nicht die Wahrscheinlichkeit, sondern die Wahrscheinlichkeitsdichte stehen.

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Das wurde dir doch heute bereits schon einmal beantwortet

Aber wie ist es im Bezug mit dieser Aufgabe