Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
$$\vec r=\binom{\cos^3t}{\sin^3t}\quad;\quad t\in\left[0;\frac\pi2\right]$$
Die Länge \(\ell\) dieses Kurvenstücks kannst du formal so bestimmen:$$\small\ell=\int\limits_{\vec r(0)}^{\vec r(\frac\pi2)}dr=\int\limits_{0}^{\pi/2}\left\|\frac{d\vec r}{dt}\right\|\,dt=\int\limits_{0}^{\pi/2}\left\|\binom{-3\cos^2t\sin t}{3\sin^2t\cos t}\right\|\,dt=\int\limits_{0}^{\pi/2}3|\sin t\cos t|\left\|\binom{-\cos t}{\sin t}\right\|\,dt$$
Wegen \(t\in[0;\frac\pi2]\) ist \(\sin t\ge0\) und \(\cos t\ge0\), sodass wir die Betragszeichen weglassen dürfen. Der Betrag des verbliebenen Vektors ist \(\sqrt{(-\cos t)^2+\sin^2t}=1\). Das heißt:$$\ell=\int\limits_0^{\pi/2}3\sin t\cos t\,dt=\frac32\left[\sin^2t\right]_0^{\pi/2}=\frac32$$
