Konvergenz von Folgen Klausurvorbereitung

Question

lerne für eine Klausur und komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Prüfe, ob die folgenden Folgen konvergieren und berechne ggf. den Grenzwert:

a_n= (-1)^⌊n/2⌋ 1/2n

b_n = 1/n² * ∑k

Leider habe ich keine Lösung davon, sodass ich absolut nicht weiß, wie ich da vorgehen soll.

Bin dankbar für jeden Tipp, da ich davon ausgehe, dass so eine ähnliche Aufgabe auf jeden Fall in der Klausur drankommt.

Comments

Bei der zweiten Folge fehlen Summationsanfang und Ende. Ich vermute mal es ist $$\sum_{k=0}^n k$$? Bei der ersten dürfte es am einfachsten mit Sandwichlemma/Einschnürungssatz gehen.

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Genau, die Grenze stimmen.

Das mit dem Sandwich Lemma werde ich mal ausprobieren.

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Summationsanfang und Ende sind doch unrelevant, da 1/n² so oder so gegen 0 konvergiert.. Unrelevant wie sich die Summe entwickelt.

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@jd21: Es ist sehr wohl relevant. Sieht man auch daran, dass die Folge b_n hier gegen 1/2 konvergiert. P.S. Die Verneinung von relevant ist irrelevant.

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Ich denke, man kommt auch schnell weiter, wenn man statt der Summe die gaußsche Summenformel einsetzt, also n*(n+1)/2

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@Thilo87: Natürlich berechnet man die Summe mit Gauß. Was dachtest du hab ich gemacht?

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Hat noch keiner explizit erwähnt, dass man das machen sollte. Vielleicht war es dem Fragesteller nicht bewusst.

Answer 1

Die erste Folge konvergiert aboöut gegen 0: $$|a_n|=\frac{1}{2n} \to_{n \to \infty} 0$$. $$b_n= \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^n k=\frac{1}{n^2} \frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2} \frac{n+1}{n} \to_{n\to \infty} \frac{1}{2}$$