Wie lautet die Normalen und Parameterform von E: 3x2+4x3=0?

Question

Aufgabe:

Wie lautet die Normalen und Parameterform von E: 3x2+4x3=0 ?

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Koordinatenform in Parameterform und dann in Normalenform umzuwandeln, jedoch wäre der Stutzvektor (0 0 0) und das geht doch nicht oder?

Comments

https://www.bonner-nachhilfe.de/PDFs/Ebenenformen.pdf

Answer 1

...jedoch wäre der Stutzvektor (0 0 0) und das geht doch nicht oder?

Liegt der Ursprung in der Ebene, dann geht das sicher.

Ich habe versucht die Koordinatenform in Parameterform und dann in Normalenform umzuwandeln,...

Das kann man machen, ist aber ein großer Umweg!

Comments

Die Normalenform kann man doch direkt ablesen:

\( \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \)·\( \begin{pmatrix} 0\\3\\4 \end{pmatrix} \)=0.

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Vielen Dank!

Answer 2

Ich nehme an, es soll E: 3x₂+4x₃=0 sein. Dann ist x₂= - \( \frac{4}{3} \)x₃ und

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)+r·\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)+s·\( \begin{pmatrix} 0\\-\frac{4}{3}\\1 \end{pmatrix} \).

Answer 3

Hallo,

mit drei Punkten, die nicht auf einer Geraden liegen, kannst du eine Parameterform aufstellen.

Z.B.

A(0|0|0)

B(1|0|0)

C(0|4|-3)

\(E:~~~ \vec x = r\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0\\4\\-3\end{pmatrix} \)

Zur Normalenform:

Die Koordinatenform ist praktisch schon die Normalenform ausmultipliziert.

\(0x_1+3x_2+4x_3=0\Rightarrow \vec n=\begin{pmatrix} 0\\3\\4\end{pmatrix}\)

\( \begin{pmatrix} 0\\3\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0\)

:-)

Answer 4

$$\text{Normalenform} \newline \text{E: } \overrightarrow x \cdot \begin{pmatrix} 0\\3\\4 \end{pmatrix} = 0 \newline \text{Parameterform} \newline \text{E: } \overrightarrow x = r \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0\\4\\-3 \end{pmatrix}$$

Answer 5

Aloha :)

Hier brauchst du fast gar nichts zu rechnen:

zu 1) Normalenform:$$3x_2+4x_3=0\implies \pink0\cdot x_1+\pink3\cdot x_2+\pink4\cdot x_3=0\implies\begin{pmatrix}\pink0\\\pink3\\\pink4\end{pmatrix}\cdot\vec x=0$$

zu 2) Parameterform:$$3x_2+4x_3=0\implies \pink{x_2=-\frac43x_3}\implies$$$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\\pink{x_2}\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\[1ex]\pink{-\frac43x_3}\\[1ex]x_3\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\[1ex]-\frac43\\[1ex]1\end{pmatrix}$$

Beachte, dass beide Darstellungen nicht eindeutig sind. Bei der Normalenform kannst du beide Seiten der Gleichung mit einer beliebigen Konstanten \(\ne0\) multiplizieren. Man normiert z.B. den Normalenvektor gerne auf die Länge \(1\). Bei der Parameterform hättest du die Koordinaten-Gleichung z.B. auch nach \(x_3\) umstellen können.