Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung in C:

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung in C:

a).       (z^2-4z+4)^2 = -1

b).       z^5-(2+2i)z^2 = 0

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen?

Comments

a) z^2 -4z+4 = (z-2)^2

b) Klammere z^2 aus, Satz vom Nullprodukt

Answer 1

1. $$z^2-4z+4-i=0$$

Dann pq-Formel.

Comments

Danke für deine Hilfe!

Warum kann ich statt dem hoch 2 einfach -i hinschreiben?

wie würde die pq Formel eingesetzt aussehen? Also was muss ich für p und was für q einsetzen?

Danke im Voraus!

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Warum kann ich statt dem hoch 2 einfach -i hinschreiben?

Weil das zum Quadrat ja -1 ergeben soll.

Also muss die Wurzel i sein.

p = -4

q = 4-i

Answer 2

a)

(z^2 - 4·z + 4)^2 = -1
((z - 2)^2)^2 = -1
(z - 2)^4 = -1
z - 2 = ± √2/2 ± √2/2·i
z = 2 ± √2/2 ± √2/2·i

b)

z^5 - (2 + 2·i)·z^2 = 0
z^2·(z^3 + 2 + 2·i) = 0
z = 0

z^3 + 2 + 2·i = 0
z^3 = 2 + 2·i
z^3 = 8^{1/2}·e^(pi/4·i)
z1 = 8^{1/6}·e^(1/12·pi·i)
z2 = 8^{1/6}·e^(3/4·pi·i)
z3 = 8^{1/6}·e^(17/12·pi·i)

Comments

Wäre bei a) das richtig:

z₁₌ 4-i

z₂= i

Bei b) haben wir das nicht mit dieser e-Formel gelernt. Wie würde das bei der anderen Formel aussehen also die mit phi und psi?

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Bei a) gibt es 4 Lösungen. Alle habe ich notiert.

z = 4 - i ist keine davon. Aber du kannst da ja auch mal die Probe machen.

Bei der e-Darstellung steht im Exponenten als Faktor vor dem i einfach das phi und vor der e-Funktion die Vektorlänge.

Answer 3

\((z^2-4z+4)^2 = -1\)

\((z^2-4z+4)^2 =i^2  |\sqrt{~~}\)

1.)

\(z^2-4z+4 =i\)

\((z-2)^2=i |\sqrt{~~}\)

a)

\(z-2=\sqrt{i}=\sqrt{\frac{2i}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1+2i-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1+2i+i^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(i+1)^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(i+1)\)

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