Verhalten im Unendlichen einer Ebenenschar

Question

Aufgabe:

Es gab in einer Klausur die Aufgabe, dass man bestimme gegen welche Ebene die Ebenenschar $$E_ a: ax_1+2x_2+(a+2)x_3=10$$ geht bei $$a\to\infty$$ dies motivierte meine Fragestellung die folgt.

Problem/Ansatz: Nun ist mir klar wie man das berechnet ich stelle mir aber eine viel generelle Frage. Wenn ich eine allgemeine Ebenenschar habe wie z.B $$E_a: e^ax_1+a^2x_2+ \frac{k}{4}x_3=6$$ wie würde ich hier dieses Verhalten gegen unendlich von a definieren. Mir geht es also nicht ums berechnen, sondern wie man das formal fassen würde, gerne auch mithilfe von Epsilontik. Meine intuitive Idee war erst zu sagen $$E_{a}$$ strebt bei a gegen Unendlich zu $$E_{\infty}$$ wenn für jeden Punkt $$p \in E_a$$ gilt, dass $$d(p,E_{\infty})\to0$$ gegen null konvergiert. Doch hier war ich mir dann auch unsicher z.B in Anbetracht von Termen wie e^a die vielleicht dafür sorgen, dass “schneller” gegen ein Wert konvergiert wird.

Comments

\(d(p,E_{\infty})\to0\)

sollte ja wohl bedeuten \( \lim\limits_{a\to\infty}d(p_a,E_\infty)=0 \) .
Dazu müsste man aber die Funktion \(a \mapsto p_a \) kennen.
Mit anderen Worten : Wenn p auf der Ebene E₇ liegt, welchem Punkt q genau entspricht er dann auf der Ebene E₁₂ ?

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Vielleicht kann ich meine Überlegungen noch etwas näher erläutern.
Man betrachte ein zweidimensionales Analogon : die Geraden g_a mit y = a·x . Diese werden mit zunehmendem a immer steiler und man könnte die y-Achse als Grenzgerade vermuten.
Allerdings : die Punkte P_a = (1|a) liegen auf g_a und haben zur y-Achse immer den Abstand 1, also keinen Abstand, der nach 0 konvergiert.

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Danke, ja daran habe ich gar nicht gedacht. Mein Ansatz scheitert wahrscheinlich unter anderem, weil man eben diese Funktion $$a \mapsto p_a$$ definieren müsste. Eventuell könnte man ja hier einfach immer den Punkt orthogonal projizieren auf die jeweilige Ebenenschar mit Parameter a. Ich fühle aber trotzdem, dass da noch andere Unsauberkeiten lauern außerdem wäre es nicht gerade eine elegante Definition. Wie würdest du denn eine Definition zu dieser Idee der Ebenenschar Konvergenz definieren?

PS: Wie schreibe ich Latex ohne einen Zeilenumbruch, weil nur „$“ funktioniert nicht.

Answer 1

Hallo wenn du durch e^a dividierst bleibt Jan nur x₁=0 für a->oo übrig, was willst du da mit epsilontig.? meinst du a^2/e^a gegen 0 zu beweisen?

lul

Comments

Nein, das ist ja klar. Mir geht es nur darum wie man diese art der Konvergenz definieren würde, da sie ja gänzlich verschieden ist von der Konvergenz von z.B Funktionen oder Folgen. Epsilontik war jetzt nur als Begriff genannt um zu verdeutlichen, dass ich eine präzise Definition will. Wenn man irgendwo in der Definition einen Limes voraussetzt dann muss man natürlich nicht nochmal das Epsilon Delta Spiel anfangen, da das ja schon implizit in dem Begriff enthalten ist.

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Deine Skrupel verstehe ich nicht, eine Ebenengleichung durch etwas ≠0 zu dividieren ist doch immer erlaubt, danach der Grenzübergang nach unendlich ist dann einfach klar. Und da nach dem Übergang der Ebene für a gegen oo gefragt ist. ist das die einfache Antwort.. Ob die Frage sinnvoll ist  musst du ja nicht entscheiden, da sie in der Art in ner Klausur stand muss sie wohl jemand für sinnvoll halten.

Gruß lul

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Da würde ich widersprechen. Es ist eben mathematisch erstmal unklar was man genau meint wenn man von der Konvergenz einer Ebenenschar redet. Deswegen stelle ich ja die Frage nach einer möglichen Definition. Natürlich ist es „intuitiv“ dass wenn ich durch e^a teilen würde und dann den Grenzübergang betrachte jenes Ergebnis rauskommt was ich als Konvergenz verstehen würde. Es ist aber sehr grob und es fehlt die formale Definition. Wenn man fieß ist könnte man ja genauso gut durch a! die Gleichung teilen und dann den Grenzübergang anschauen. Sehr formal scheint das jedenfalls nicht, wenn man einfach durch den „schnellsten“ Term teilt.