Mathe Beweis Potenzgesetze

Question

Hallo :)

Ich habe als Extraaufgabe folgende Aufgaben bekommen:

a)Was versteht man unter aⁿ (a ≥ 0; n ∈ ℕ \ {0})?
b)Was versteht man unter a^m/n (a ≥ 0; m ∈ ℤ; n ∈ ℕ \ {0})?
c)Potenzen werden potenziert, indem man...? Beweis!

Meine Lösungen:

a) (a^1/n)ⁿ

= a^1/n * a^1/n ... * a^1/n (n-mal)

= a^{1/n+1/n...+1/n (n-mal)}

= a

=> a^1/n ist diejenige Zahl, die mit sich selbst n-mal multipliziert a ergibt, also

a^1/n = ⁿ√a .

b) (a^m/n)^n/m

= a^m/n+n/m

= a^mn/nm+nm/mn

= a¹⁺¹

= a²

=> n/m ist diejenige Zahl, die n/m-mal mit a^m/n multipliziert a² ergibt, also

a^m/n = ⁿ√a^m .

c) Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten miteinander multipliziert und die Basis beibehält: (aⁿ)^m = a^n*m

(aⁿ)^m

= (a * a * a ... * a)(a * a * a ... * a) ... (a * a * a ... * a) (in der Klammer n-mal, insgesamt m-mal aⁿ multiplizieren)

= aⁿ * aⁿ * aⁿ ... * aⁿ (m-mal)

= a^n*m

Stimmt das soweit, oder ist mir irgendwo ein Fehler unterlaufen? Bei der zweiten Beweisführung bin ich mir etwas unsicher. Wär klasse wenn ihr helfen könntet! Ich bin nicht ins Internet gegangen oder Sonstiges, das ist alles Eigeninitiative. Freue mich über eure Antworten!

 

lg :)

Answer 1

zu a) Was du dort machst ist richtig, aber es passt nicht so recht zur Aufgabenstellung ...

zu b) Vergleiche mal das, was du bei b) machst , mit dem, was du im ersten Satz von c) behauptest ...

zu c) Alles richtig!

Comments

Hallo JotES (du hast doch auch einen GF Account oder?),


wie soll ich denn a) dann beweisen? Ich habe die Aufgabe, a) und b)auch zu beweisen - das habe ich vergessen zu sagen, bitte entschuldige...

Bei b) hab ich meinen Fehler schon gefunden, danke :)

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Ja, habe ich :-)

wie soll ich denn a) dann beweisen?

Hmm - bei a) steht:

Was versteht man unter aⁿ

Ist das tatsächlich die korrekte Aufgabenstellung?
Wenn ja:
Nun, aⁿ ist lediglich ein Term. Terme aber kann man nicht beweisen, beweisen kann man nur Aussagen / Behauptungen.
Also: Welche Behauptung soll unter a) bewiesen werden?

 

Dasselbe frage ich mich bei b)

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Haha wusste ich's doch - es grüßt dich SoSohatsDRAUF (erfolgreiche Ratgeberheldin in den Tags Mathematik, Mathe und Schule XD) :-D

Hab auf GF keine Antwort erhalten also hab ich mal hier gefragt ;-)

 

Okay, so viel ist mir auch klar. Mist, mir fällt auf, dass da a^1/n stehen sollte - mein Fehler! :-(

Ich sollte anhand einiger Beispiele eine Behauptung aufstellen - und die ist ⁿ√a . Und diese Behauptung muss nun bewiesen werden. Laut deiner Aussage meinst du, der Beweis sei richtig, oder habe ich etwas falsch verstanden?

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es grüßt dich SoSohatsDRAUF

Aha - selbst die Internetwelt ist klein :-)
Schöne Grüße zurück!

zu a)

Dann solltest du zunächst die Behauptung aufstellen, also:

a ^1/n = ⁿ √ a

und dann versuchen, diese Aussage durch Äquivalenzumformungen in eine immer wahre Aussage der Form

x = x

zu bringen. Damit wäre dann bewiesen, dass die beiden Seiten der Behauptung tatsächlich unabhängig vom Wert von a gleich sind.

a ^1/n = ⁿ √ a

<=> ( a ^1/n ) ⁿ = ( ⁿ √ a ) ⁿ

<=> a ^n/n = ( ⁿ √ ( a ⁿ ) )

<=> a ¹ = a ¹

Das ist eine immer wahre Aussage und damit ist auch die Behauptung immer wahr.
(Die Frage is natürlich: Welche der von mir vorgenommenen Umformungen dürft ihr für den Beweis benutzen?)

Laut deiner Aussage meinst du, der Beweis sei richtig,

Deine Umformungen sind richtig.
Es ist aber nicht recht ersichtlich,  warum du die Umformungen mit (a^1/n)ⁿ  beginnst (es fehlt die zu beweisende Behauptung, nämlich dass gilt: a^1/n  = ⁿ √ a )

Was du zeigst, ist:  (a^1/n)ⁿ  = a.
Wenn du daraus nun noch schließt (und es auch hinschreibst) dass a^1/n  = ⁿ √ a, dann hast du eben diese Behauptung bewiesen.