Glücksrad: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit bei 16 Versuchen mindestens 3 mal zu gewinnen?

Question

Aufgabe Wahrscheinlichkeit:

Ein Glücksrad ist so eingerichtet, dass bei einem Versuch die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn p=0.08 ist. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei 16 Versuchen mindestens 3 Gewinne zu erzielen?

Jetzt habe ich probiert, diese Aufgabe mit der folgenden Formel zu lösen.

\( \frac{n !}{(n-x) ! x !}=p^{x} \cdot(1-p)^{n-x} \)

So bin ich vorgegangen. Leider weiss ich gar nicht, ob ich überhaupt die richtige Formel dafür verwende!

\( \frac{16 !}{(16-0) ! \cdot 0 !} \cdot 0,08^{\circ} \cdot(1-0,08)^{16-0}=0,000134 \)
\( \frac{16 !}{(16-1) ! \cdot 1 !} \cdot 0,08 \cdot(1-0,08)^{16-1}=0,3664606772 \)
\( \frac{16 !}{(16-2) ! \cdot 2 !} \cdot 0,08^{2}(1-0,08)^{16-2}=0,2389960938 \)
\( \frac{16 !}{(16-3) ! \cdot 3 !} \cdot 0,08^{3}(1-0,08)^{16-3}=0,09698392213 \)
\( 1-0,7025746931=0,2974253069 \)

Das richtige Resultat würde 1,1311 betragen.

Sieht möglicherweise jemand, wo mein Fehler liegt?

Comments

Das richtige Resultat würde 1,1311 betragen.

Das richtige Resultat ist eine Wahrscheinlichkeit, die kann nicht größer als 1 sein.

Weiter ist das Gegenteil von "mindestens 3" "weniger als 3" oder "höchstens 2".

Ansonsten ist der Ansatz zumindest richtig.

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Entschuldige, ich habe mich beim richtigen Resultat verschrieben es sollte 0.1311 heissen.

Und stimmt, höchstens 2. Aber auch wenn ich es dann so ausrechne, gibt das Resultat bei mir ca. 0.3945. Was immer noch viel zu viel ist. Und ich verstehe die Lösungen meines Lehrers nicht so genau.. vielleicht kann mir ja dort jemand helfen?

$$p = 0.08 \quad n = 16$$

$$P = \sum _ { x = 3 } ^ { 16 } b ( n , p , x ) = 1 - \sum _ { x = 0 } ^ { 2 } b ( n , p , x ) = 0.1311$$

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Dein erster Wert stimmt nicht, vielleicht falsch eingetippt. Die Formel ist jedenfalls richtig.

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Dein Lehrer war ein ganz schlauer :) er hat einfach die Bernoulli Tabelle angewendet :)

Answer 1

Zu der Formel deines Lehrers:

Die Binomialverteilung b ( n , p , x ) gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der bei n gleichartigen Versuchen, die jeweils die Erfolgswahrscheinlichkeit p haben, genau x Erfolge eintreten.

Sucht man also die Wahrscheinlichkeit für mindestens x = 3 Erfolge bei n = 16 Versuchen mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,08, so muss man die Summe der Wahrscheinlichkeiten für genau 3 Erfolge , genau 4 Erfolge , genau 5 Erfolge usw. bis genau 16 Erfolge ausrechnen und addieren, also:

P("mindestens 3 Erfolge") = b ( 16; 0,08 ; 3 ) + b ( 16; 0,08 ; 4 ) + b ( 16; 0,08 ; 5 ) + ... + b ( 16; 0,08 ; 16 )

Das bewerkstelligt dein Lehrer mit der Summe auf der linken Seite seiner Gleichung.

Da aber gilt :

P ("mindestens 3 Erfolge") + P (" höchstens 2 Erfolge") = 1

denn eines dieser Ereignisse tritt ja mit Sicherheit ein, kann man auch rechnen:

P ("mindestens 3 Erfolge") = 1 - P (" höchstens 2 Erfolge")

Dieses Vorgehen vereinfacht die Berechnung weil nun statt vorher 16 Summanden nur noch 3 Summanden auftreten, nämlich:

P (" höchstens 2 Erfolge") = b ( 16; 0,08 ; 0 ) + b ( 16; 0,08 ; 1 ) + b ( 16; 0,08 ; 2 )

und also gilt:

P ("mindestens 3 Erfolge") = 1 - P (" höchstens 2 Erfolge")

= 1 - ( b ( 16; 0,08 ; 0 ) + b ( 16; 0,08 ; 1 ) + b ( 16; 0,08 ; 2 ) )

Das ist der Inhalt der rechten Seite der Gleichung deines Lehrers.

Answer 2

Hi,

Das erste Resultat stimmt nicht, da kommt 0.263 raus. Und dann hast Du zuviel abgezogen. Du darfts nur die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen des Ereignisses 0-mal, 1-mal und 2-mal abziehen, denn ab dem Eintreffen des Ergeignisses von 3-mal bist Du ja schon im Bereich von mindestens 3-mal.