Gibt es Vektoren c, sodass c und e orthogonal und die Vektoren a, b, c linear abhängig sind?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren: \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -7\end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 3 \\ 5\end{array}\right), \quad \overrightarrow{e_{1}}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \).

a) Gibt es Vektoren \( \vec{c} \in \mathbb{R}^{3} \) so, dass \( \vec{c} \) und \( \overrightarrow{e_{1}} \) orthogonal und die Vektoren \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \)
linear abhängig sind? Bestimmen Sie gegebenenfalls alle Vektoren \( \vec{c} \in \mathbb{R}^{3} \) mit diesen Eigenschaften.

b) Gibt es Vektoren \( \vec{c} \in \mathbb{R}^{3} \) so, dass \( \vec{c} \) parallel zur \( (y, z) \) -Ebene ist und die Vektoren \( \vec{c} \), \( \vec{a}, \vec{b} \) einen Spat mit dem Volumen \( V=12 \) VE aufspannen? Bestimmen Sie gegebenenfalls alle Vektoren \( \vec{c} \in \mathbb{R}^{3} \) mit diesen Eigenschaften.

Answer 1

c = Nullvektor würde vielleicht alle Bedinungen erfüllen, ist aber als Spezialfall wohl nicht wirklich interessant.

Orthogonalitätsbedingung:

Skalarprodukt von c(c1, c2, c3) und e(1, 0, 0) muss 0 sein

Also c1*1 = c1 = 0

Somit:

c(0, c2, c3)

Jetzt würde ich den Ansatz

x*a + y*b + c =0

Komponentenweise notieren

Da bekommt man aus der ersten Zeile die Bedingung x - 2y = 0.

Also x = 2y einsetzen und es bleibt in den folgenden beiden Gleichungen nur noch der Parameter y und die beiden Komponenten c2 und c3. Da nur die Richtung von c wichtig ist, kannst du zur Vereinfachung der Rechnung c2 oder c3 auf 1 normieren.

Dann y aus dem System eliminieren und die fehlende Komponente von c bestimmen.

Zum Schluss Lambda mal c  (Lambda reell) als alle Vektoren, die diese Bedingungen erfüllen angeben.

Versuch das mal!

 

Comments

Bei der Auflösung von:  x*a + y*b + c =0  , bekomme ich für y einmal -1/3 und einmal 1/9 raus, das kann doch nicht stimmen oder?

Und weshalb kann ich für c2 und c3 einfach die 1 annehmen?

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Nur für c2 oder c3 kannst du 1 nehmen.- Nicht für beide!

Orthogonalität und lineare Abhängigkeit hat nur mit der Richtung zu tun (vgl. oben). Deshalb kannst du den gefundenen Vektor dann noch mit einer beliebigen reellen Zahl multiplizieren.

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3y = c2

-7x + 5y = c3  -----> -14y + 5y = c3  ------> -9y = c3

Wähle c2 = 1

y = 1/3

Einsetzen 

-9*(1/3) = -3 = c3

{Alle möglichen Vektoren c } = { λ (0| 1| 3}, λ ∈ R}