Uneigentliches Integral bestimmen

Question

Zu bestimmen ist ∫¹₀ x^n dx

Für n∈ℝ . Man soll eine fälle nach n! Unterscheiden.

Hat da einer eine idee?

Answer 1

∫  x^n dx
1 / ( n+1 ) * x^{n+1}
1 / ( n+1 ) [ x^{n+1} ]₀¹
1 / ( n+1 ) * ( 1^{n+1} - 0^{n+1} ]
Ab jetzt könnte es ein Fall für die Spezialisten
werden.

Answer 2

Für n>=0 ist die Antwort von georg wohl erschöpfend

1 / ( n+1 ) * ( 1ⁿ⁺¹ - 0ⁿ⁺¹ ) = 1 / (n+1) (*1 - o) = 1/(n+1).

für n<0 ist x^n für 0 nicht definiert, also ist es ein uneigentliches Integral und

muss erst mal von z bis 1 gerechnet werden gibt  (für n ungleich -1)

1/(n+1)* (1ⁿ⁺¹ - zⁿ⁺¹ ) =  1/(n+1) * (1 - zⁿ⁺¹ ) und dann der Grenzwert für z gegen 0.

mit positivem exponenten k geht z^k für z gegen 0 auch gegen 0

also haben wir für n>-1 als Grenzwert 1/ (n+1) also das (in diesem Fall uneugentliche)

Integral hat den gleichen Wert wie bei n>=0.

Für k <0 geht z^k für z gegen 0 auch gegen unendlich

(z.B. z^-0,5 =   1 / wurzel(z) geht für z gegen 0 gegen unendlich)

also existiert das uneigentliche Integral nicht.

Bliebt noch z=-1  Da ist eine Stammfunktion  ln(x)

und ln(1) - ln(z) für z gegen 0 konvergiert auch nicht,

da ln(z) für z gegen 0 gegen -unendlich geht.