Zeige, dass (an) Folge in C divergiert

Question

Ich habe die folgende Aufgabe bekommen, dazu auch schon selbst eine Lösung und wollte mal fragen, ob man den Beweis so führen kann:

Voraussetzung: (a_n) Folge in ℂ, alle a_n ≠ 0, $$ \lim _{ n\longrightarrow \infty  }{ \left| \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } }  \right|  } >1 $$

Behauptung: $$ \sum { ({ a }_{ n } } ) $$ divergiert

Beweis: Wissen durch das Quotientenkriterium: $$ \overline { \lim _{ n\rightarrow \infty  }{  }  } \left| \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } }  \right| <1\quad \Longrightarrow \quad { a }_{ n }\quad konvergiert\quad absolut\\ Außerdem\quad gilt\quad immer\quad \underline { lim } \quad \le \quad \overline { lim }   $$

Dadurch folgt also nach der Voraussetzung:

$$\overline { \lim _{ n\rightarrow \infty  }{  }  } \left| \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } }  \right| >1\quad \Longrightarrow \quad { a }_{ n }\quad divergiert\\ $$

Ist das ein vollständiger Beweis? Und wie beweise ich nun, dass (a_n) keine Nullfolge ist? (Zweiter Teil der Aufgabe)

Comments

Das ist kein Beweis: Du verwechselst notwendige und hinreichende Bedingung.

Wenn liminf >1, dann auch limsup>1. Aber dann folgt aus der zitierten Aussage nichts.

Überlege lieber mal, wie liminf definiert ist und was dann liminf >1 bedeutet.

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Die umgangssprachliche Definition ist ja, dass der lim inf der kleinste Häufungspunkt einer Folge ist. Das bringt mich beim Beweis aber ja wahrscheinlich nicht weiter, weil das ja keine Aussage über die Konvergenz ist. 
Die andere Definition ist ja diese hier:

$$ \underline { \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { a }_{ n } }  } =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ inf\left\{ { a }_{ n },{ a }_{ n+1 },{ a }_{ n+2 },... \right\}  }   $$

Aber was sagt das dann über die Konvergenz aus, wenn es > 1 wird?

Answer 1

Vielleicht hilft ein Ansatz wie:  Wegen GW>1 sind von einem n0 an
alle Quotienten |a_n+1/a_n| > q    und     q>1
Dann ist wegen
|a_n+1/a_n| = |a_n+1| / |a_n| und
(|a_n+1| / |a_n|) * (|a_n+2| / |a_n+1|) * (|a_n+3| / |a_n+2|) *.... *(|a_n+k| / |a_n+k-1|)
hier kürzt sich immer ein Nenner mit dem vorherigen Zähler also
 = (|a_n+k| / |a_n|)

Da aber alle Quotienten > q sind, ist das Produkt mit den k-1 Faktoren
größer als q ^k-1 .   Also für alle k
|a_n+k| / |a_n|   > q ^k-1 bzw
|a_n+k|   >   |a_n| * q ^k-1
nun ist |a_n|  eine Konstante c und von n0 an ist also
also ist von einer Stelle n an die Folge    c*q^k-1  eine Minorante
für die gegebene Folge. Da q>1 ist, divergiert die Minorante, also
auch die Folge selbst.
und da für q>1 die Minorante gegen unendlich geht, tut a_n das auch
und ist demnach keine Nullfolge.