In welchem Intervall ist die Funktion konvex bzw. konkav?

Question

$$ g(y)=\frac {y^2-1}{y} $$Ich habe zuerst die zweite Ableitung bestimmt:

$$ g''(y) = -\frac {2}{y^3} $$Wenn ich nun die Stellen herausfinden möchte, in denen die Funktion konvex ist, berechne ich die Ungleichung:

$$ -\frac {2}{y^3} >0 $$Das bringt mir aber nichts, weil ich auf keine Lösung komme. 

Woran liegt das bitte?

Answer 1

Statt zu multiplizieren kannst du doch unmittelbar argumentieren:

-2/y³    ist doch ein Bruch und du willst wissen: Wann ist der positiv ?

Der Zähler ist jedenfalls negativ. Damit der ganze Bruch positiv ist,

muss der Nenner auch negativ sein.

y^3 ist aber nur negativ, wenn y selbst negativ ist.

Comments

wäre mir nie im Leben eingefallen, dass man das so unmittelbar bewerten kann. ^^

Das heisst, g ist genau dann konvex, wenn y negativ ist und genau dann konkav, wenn y positiv ist. Ist das bitte richtig so?

Würde mich aber doch noch interessieren, ob man sowas auch arithmetisch umformen und wirklich lösen kann. Vl. mit Potenzgesetzen?

---

Ich würde eher so formulieren:

Über dem Bereich ] - unendlich ; 0 [ ist g konvex und

über ] 0 ; unendlich [ ist g konkav.

wenn du ein Potenzgesetz bemühen willst, könnte es

vielleicht so gehen

-2/y³  > 0    | *(-1)

2 / y^3  < 0

(   3. Wurzel(2) / y ) ^3  < 0

3. Wurzel(2) / y   < 0

aber ab hier brauchst du wieder so ein Argument

wie Bruch mit pos. Zähler ist negativ, wenn Nenner negativ

also y < 0.

---

Aha, gut danke Dir für Deine Aufstellung! (:

Answer 2

-2/y^3 > 0

Warum bekommst du keine Lösung? Was ist mit y < 0

Comments

Löst Du denn bitte diese Ungleichung mit Hilfe von Potenzgesetzen auf? Ich dachte, ich müsse mit y³ multiplizieren aber dann fällt ja die Variable weg.