Bestimmen Sie die Parameterform der Schnittgeraden der Ebenen: ...

Question

Hi,

folgende Aufgabe:

"Bestimmen Sie die Parameterform der Schnittgeraden der Ebenen:

E1: x-2y+4z+2=0

E2: 2x-3y+z-5=0"

Reicht es, wenn ich von der ersten Ebenengleichung die Richtungsvektoren herleite ... aber dann fehlt mir halt der Aufpunkt ... hier steh ich grad auf dem Schlauch.

Gruß

Answer 1

Zunächst mal ist die Schnittgerade senkrecht zu beiden Normalenvektoren

[1, -2, 4] ⨯ [2, -3, 1] = [10, 7, 1]

Damit brauchst du nur noch einen Punkt. Du könntest z = 0 setzen und

x - 2·y + 4·z + 2 = 0
2·x - 3·y + z - 5 = 0

dann nach x und y lösen. Das ergibt: x = 16 ∧ y = 9 ∧ z = 0

Die gerade lautet also

X = [16, 9, 0] + r * [10, 7, 1]

Comments

Du könntest auch

x - 2·y + 4·z + 2 = 0 
2·x - 3·y + z - 5 = 0

in Abhängigkeit von z lösen

x = 10·z + 16
y = 7·z + 9

Man erhält

X = [16, 9, 0] + z * [10, 7, 1]

Das ist das gleiche wie oben.

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Wie komme ich jetzt auf den Aufpunkt? Ich habe doch gar keine Punkte vorgegeben?

Oder hast du einfach irgendwelche Werte für x, y und z eingesetzt?

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Ich wähle oben z = 0 und damit hat man ein LGS mit 2 Unbekannten. Darüber kann ich x und y ausrechnen und habe den aufpunkt. Mit veränderbarem z habe ich dann auch noch den Richtungsvektor der Geraden.

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Okay soweit. Danke. Eine Frage noch: Hätte ich das Kreuzprodukt dann gar nicht bestimmen müssen bzw. nicht verwenden müssen, wenn ich den Richtungsvektor auch erhalte, indem ich das z verändere?

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Richtig. Du brauchst hier das Kreuzprodukt nicht.

Answer 2

E1: x-2y+4z+2=0

E2: 2x-3y+z-5=0"

Ich berechne wenn möglich Spurpunkte (= Schnittpunkte mit Koordinatenebenen) der Schnittgeraden. y = 0

E1: x+4z+2=0 (I)

E2: 2x+z-5=0    (II)

---------------------  (II) - 2*(I)

-7z - 9 = 0

-9/7 = z

x = -4z -2 = 36/7 - 14/7 = 22/7

P( 22/7, 0, -9/7)

z=0

E1: x-2y+2=0   (I)

E2: 2x-3y-5=0   (II)

----------------------  (II) - 2*(I)

(-3 + 4) y - 9 = 0

y = 9

x - 18 + 2 = 0

x = 16

Q(16, 9, 0)

g: r = (16, 9. 0) + t ( 16 -22/7, 9, 9/7)

g: r = (16, 9. 0) + t ( 90/7, 9, 9/7)

r = (16, 9. 0) + t ( 10, 7, 1)

Bitte selbst nachrechnen!

Answer 3

Hi, das reicht natürlich nicht.

Ansonsten gibt es verschiedene Wege, die Aufgabe anzugehen. So könnte man etwa einen Normalenvektor zu den beiden Normalenvektoren der Ebenen aus den Koordinatengleichungen als Richtungsvektor der Schnittgeraden bestimmen. Dann bräuchte man noch einen Aufpunkt, den könnte man dadurch gewinnen, dass man eine der Variablen x, y oder z nach Belieben setzt und das Gleichungssystem aus den so vorbesetzten Koordinatengleichungen nach den beiden anderen Variablen auflöst.

Es geht aber auch anders.

Viel Spaß noch!