Mit Substitution integrieren: (x+2)/(Wurzel(7x-5))

Question

$$\int {\frac {3x+2}{\sqrt {7x-5}}}dx$$

...soll mittels Substitution integriert werden. Leider komme ich nicht auf das Resultat. Ich wählte den Ausdruck unter der Wurzel als u.

Könnte mir bitte jemand einen Ansatz liefern?

Answer 1

Hallo

Ja, die Substitution

z=sqrt(7x-5) führt zum Ziel.

Comments

Du nimmst also die ganze Wurzel als Substitution und nicht nur den Ausdruck unter der Wurzel?

Also so?

$$z = \sqrt {7x-5}$$

---

"

Also so? -> z=sqrt(7x-5)  "

.. NEIN , ->  deine eigene Idee mit u= 7x-5 ist wesentlich besser

ersetze dann also dx  durch 1/7 * du

und das im Zähler verbleibende x durch x= u/7 + 5/7

probier es also damit   ...

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kleine Ergänzung:
natürlich solltest du es auch noch  mit der Substitution z= sqrt(7x-5) versuchen..
und klar wirst du auch damit zum Ergebnis finden und vielleicht findest du dann
diesen Weg schlussendlich besser ?
..

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also ich komme trotzdem nicht weiter. Denn auch wenn ich substitutioniere, so bleibt im Zähler ja ein x-Ausdruck übrig und dabei müsste der ja auch weg, sonst kann ich nicht nach u integrieren.

Answer 2

substituiere \(z=7x-5\). Dann ist \(x=\frac17(z+5)\) und \(\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=7\) oder \(\mathrm dx=\frac17\mathrm dz\).$$\quad\int\frac{3x+2}{\sqrt{7x-5}}\,\mathrm dx=\int\frac{3\cdot\frac17(z+5)+2}{\sqrt z}\cdot\frac17\,\mathrm dz$$$$=\frac1{49}\int\frac{3z+29}{\sqrt z}\,\mathrm dz=\frac1{49}\int\left(3\sqrt z+\frac{29}{\sqrt z}\right)\mathrm dz=\frac2{49}(z+29)\sqrt z+C.$$