Zeigen sie, dass f in x0 = 0 differenzierbar ist mit der Ableitung f'(0) = 0 (=Nullmatrix).

Question

Sei D ⊂ ℝⁿ eine offene Umgebung des Ursprungs 0 ∈ ℝⁿ und f : D → ℝ^m vorgegeben. Für alle x ∈ D gelte ΙΙf(x)ΙΙ ≤ ln(1+ΙΙxΙΙ²).
 Zeigen sie, dass f in x₀ = 0 differenzierbar ist mit der Ableitung f'(0) = 0 (=Nullmatrix).

Comments

Hi, soll das heissen $$ ||f(x)|| \le ln(1+||x||^2)  $$

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ja, genau so. 'Tschuldigung, dass es in meiner Frage zu unübersichtlich aussieht. Ich kann es sonst als Bild noch einmal hochladen, ist dann sicherlich lesbarer.

Answer 1

Du musst laut Definition der (mehrdimensionalen) Differenzierbarkeit zeigen, dass \(\lim\limits_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)-f'(0)\cdot (x-0)}{\|x-0\|}=0\) gilt.

Comments

Hi, wegen der Bedienung
$$  \| f(x) \| \le ln(1+\|x\|^2) $$ in einer Umgebung von \( 0 \in D \) folgt für \( f(0) \)
$$ 0 \le ||f(0)|| \le ln(1) = 0 $$ also gilt \( f(0) = 0 \)
D.h. man muss zeigen das gilt
$$  \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{||x||} = 0 $$ Es gilt aber
$$  \left \| \frac{f(x}{\|x\|} \right \| \le \frac{ln(1+\|x\|^2)}{\|x\|} $$
Durch entwickeln des Zählers in eine Taylorreihe sieht man, das der Grenzwert gegen \( 0 \) konvergiert. Damit ist die Ableitung wie behauptet \( f'(0) = 0 \)
Ich hoffe ich habe nicht schon wieder daneben geguckt.

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Ja, stimmt so. :-)

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Danke fürs korrekturlesen.

Answer 2

Hi,
betrachte folgende Funktion
$$ f(x) = \frac{1}{5}x $$ für diese Funktion gilt \( f(x) \le ln(1+|x|) \) für z.B. \( [-5 , 5 ] \)
Die Funktion \( f(x) \) ist differenzierbar in \( x = 0 \) aber es gilt
$$ f'(0) = \frac{1}{5}  $$

 

Comments

In der Aufgabe steht ja auch, dass \(\|f(x)\|\leq \ln(1+\|x\|^{\color{red}{2}})\) sein soll. Und das trifft auf deine Funktion nicht zu.

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ups, da habe ich mich verguckt.