Kontraktive beschränkte Folge

Question

und zwar will ich folgende Kontraktive Folge bestimmen:

Es sei (a_n)_n∈N0 eine beschränkte Folge so dass ein 0 ≤ q < 1 existiert mit

|a_n - a_m| ≤ q|a_n-1 - a_m-1| , n,m ∈ N

Zeige dass die Folge konvergiert.

Geht das denn mit dem Epsilon-Beweis? Ich rätsel schon die ganze Zeit wie man das machen könnte...

Comments

Weisst du etwas über Cauchy-Folgen?

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Ja, aber ich weiss nicht wie man das in diesem speziellen Fall anwenden oder beweisen kann :(

Hast du da eine Idee?

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Uni Marburg? :D

Answer 1

Wenn die Ungleichung \( | a_n - a_m | \le q | a_{n-1} - a_{m-1} | \) für alle \( n,m \in \mathbb{N} \) gilt, gilt sie auch für \( m = n-1\) In diesem Fall folgt \( | a_n - a_m | \le q^{n-1} | a_1 - a_0 | \le \epsilon \) falls \( n \) groß genug ist für jedes \( \epsilon > 0 \)  Damit ist die Folge konvergent.

Comments

Die Lösung ist mir soweit ersichtlich. Aber woher kommt das q^n-1 ?

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$$  | a_n - a_{n-1} | \le q | a_{n-1} - a_{n-2} | \le q^2 | a_{n-2} - a_{n-3} | $$ usw.