Additionstheoreme sin cos

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die Additionstheoreme fuir den Fall \( \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \), aber \( \alpha+\beta>\frac{\pi}{2}: \)

\( \begin{array}{l} \sin (\alpha+\beta)=\sin (\alpha) \cos (\beta)+\cos (\alpha) \sin (\beta) \\ \cos (\alpha+\beta)=\cos (\alpha) \cos (\beta)-\sin (\alpha) \sin (\beta) \end{array} \)

Comments

Das Video könnte weiterhelfen. Anschauen und danach Prinzip auf andere WInkel übertragen.

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=5hQjrql2NFk

Siehe auch auf https://www.matheretter.de/wiki/additionstheoreme

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Danke für das Video, allerdings ist bei mir ja vorgegeben, dass Alpha + beta > pi/2 sein soll.....

Funktioniert das auch, wenn ich anstatt Alpha= 30°  und Beta= 60° größere Werte einsetze?

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Bitte.

Wenn du die Vorzeichen richtig einbeziehst, sollte der Beweis verallgemeinerbar sein.

Mach vielleicht 3 Fälle:

Alpha + beta zwischen π/2 und π

Alpha + beta zwischen π und 3π/2

Alpha + beta zwischen 3P/2 und 2π

Du hast leider dem Kurszusammenhang nicht genau spezifiziert. Der Beweis von ullim ist je nach Zusammenhang kürzer. Nur: Ob du das dort alles benutzen darfst, wissen wir ja nicht.

Answer 1

Hi, verwende
$$ e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) $$ und rechne $$ e^{i(x+y)} = e^{ix} e^{iy} $$ aus, dann folgt die Behauptung sofort durch Vergleich von Real- und Imaginärteil.
Also
$$ e^{i(x+y)} = \cos(x+y) +i \sin(x+y) $$ und
$$ e^{ix}e^{iy} = [ \cos(x) +i \sin(x) ] \cdot [ \cos(y) +i \sin(y) ]  $$