6^2x + 6^{2x-3}= 217

Question

brauche hilfe beim lösen der gleichung

6^{2x} + 6^{2x-3}=217

Answer 1

Ohne Taschenrechner und in nachvollziehbaren Einzelschritten:

$$  6^{2x} + 6^{2x-3}=217  $$
$$  6^{2x} + 6^{2x-3}=6^3 +6^0  $$
$$  6^{2x} + 6^{2x} \cdot 6^{-3}=6^3 +6^0  $$
$$  6^{2x}  \cdot (1+6^{-3})=6^3 +6^0  $$
$$  6^{2x}  \cdot (6^0+6^{-3})=6^3 +6^0  $$
$$  6^{2x}  =\frac{6^3 +6^0 }{6^0+6^{-3}} $$
$$  6^{2x}  =\frac{6^3 +6^0 }{6^0+6^{-3}} \cdot \frac {6^3} {6^3} $$
$$  6^{2x}  = \frac{6^3 +6^0 }{6^3+6^{0}}   \cdot 6^3  $$
$$  6^{2x}  = 1  \cdot 6^3 $$
$$  6^{2x}  = 6^3  $$
$$  {2x}  = 3  $$
$$  x  = \frac 32  $$

Comments

Möchtest Du andeuten, dass mein Rechenweg nicht nachvollziehbar ist?

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@jd 138
Mit welchem Argument soll die Einzigkeit der Lösung folgen ?

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Man kann die linke Seite als gestreckte Potenzfunktion auffassen, diese ist bijektiv.

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Variante:

$$ 6^{2x} + 6^{2x-3}=217 $$
$$ 6^{2x} +\frac{ 6^{2x}}{6^3}=217 $$
$$ 6^3 \cdot 6^{2x} +6^{2x}=217 \cdot 6^3$$
$$ (6^3+1) \cdot 6^{2x} =217 \cdot 6^3$$
$$ 217 \cdot 6^{2x} =217 \cdot 6^3$$
$$  6^{2x} = 6^3$$

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@pleindespoir:

$$ \begin{aligned} 6^{2x} + 6^{2x-3} &= 217 \\\\ 6^{2x}\cdot\left(1 + 6^{-3}\right) &= 217 \\\\ 6^{2x}\cdot\frac{217}{216} &= 217 \\\\ 6^{2x} &= 216 \\\\ 6^{2x} &= 6^3 \\\\ 2x &= 3 \\\\ x &= 1.5 \end{aligned} $$Diese Rechnung folgt der Strategie, zunächst so umzuformen, dass die Variable \(x\) nur noch an einer Stelle der Gleichung vorkommt. Dann wird zusammengefasst und aufgelöst. Bei Deinen Umformungen ist mir die Strategie nicht klar.

Answer 2

6^{2x} + 6^{2x-3} = 217
6^{2x} + 6^{2x} / 6^3 = 217
[ 216 *6^{2x} +  6^{2x} ] / 216 = 217
217 * 6^{2x} = 217 * 216
6^{2x} = 216
6^{2x} = 6^3
2x = 3
x = 1.5

Probe
6^{2*1.5} + 6^{2*1.5-3} = 217
216 + 6^0 = 217
216 + 1 = 217

Answer 3

2xln 6 +(2x-3) ln 6 = ln 217

3,58 x + 3,58x - 5,37  =  5,38

7,16 x       = 10,75

x       = 1,5

Comments

Wie kommt denn die erste Zeile zu Stande?

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Fehlerhinweis
Deine Umformung
6^2x + 6^2x-3 = 217   | ln ( )
ln(6^2x)  + ln(6^2x-3 ) = ln ( 217 )
stimmt leider nicht

Richtig
6^2x + 6^2x-3 = 217 |  ln ( )
ln ( 6^2x  + 6^2x-3 ) = ln ( 217 )

Answer 4

brauche hilfe beim lösen der gleichung

6^2x + 6^2x-3=217

Hi, es ist doch

$$217 = 216+1 = 6^3 + 6^0 = 6^{2\cdot 1.5} + 6^{2\cdot 1.5 - 3}$$

und damit \(x=1.5\).

Und das muss auch die einzige Lösung sein.