Hilfe zu Aufgabe: maximaler flächeninhalt

Question

Aus einem Draht der Länge 50cm soll ein Rechteck gebogen werden, das eine Fläche von maximalen Inhalt umrandet. Berechnen Sie wie die Länge und Breite zu wählen sind.
Das ist die Aufgabe. Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll. Ich hoffe jemand kann helfen.

Answer 1

Aus einem Draht der Länge 50cm soll ein Rechteck gebogen werden, das eine Fläche von maximalen Inhalt umrandet. Berechnen Sie wie die Länge und Breite zu wählen sind. 
Das ist die Aufgabe. Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll. Ich hoffe jemand kann helfen.

Das Quadrat ist das Rechteck was bei gegebenem Umfang den größten Flächeninhalt besitzt. Daher ist a = 50/4 = 12.5 cm.

Hier noch mit einer kleinen Rechnung

U = 2a + 2b = 50 --> b = 25 - a

A = a * b = a * (25 - a) = 25a - a^2
A' = 25 - 2a = 0 --> a = 12.5 cm

Answer 2

x,y seien die Seiten des Rechtecks in cm.

Für die Fläche gilt:

A(x,y) = x • y  ,

Wegen 2y = 50 - 2x  ->  y = 25 - x  [#]

A(x) = x • (25 - x) = -x² - 25x

diese nach unten geöffnete Parabel hat den Maximalwert in der Mitte

zwischen den Nullstellen x = 0 und x = 25

also bei    x = 12,5.

x in [#] ->  y = 12,5

Das Rechteck mit maximaler Fläche ist also ein Quadrat.

Gruß Wolfgang