Hallo !
Hier einmal ein beispielhafter Rechenweg, wie er für Exponentialfunktionen, wie e^{x^2} zum Beispiel vorgenommen werden koennte:
1) Intervall auswählen, das angenähert werden soll
2) für das Intervall ein kubisches Gleichungssystem mit 4 unbekannten Koeffizienten aufstellen
- 4 gleichabständige Stellen auswählen
- die Funktionswerte jeweils logarithmieren
- eine Zeile lautet also:
a3 xi^3 +a2 xi^2 +a1 xi +a0 -log (f(xi)) = 0
3) das Gleichungssystem mit einem Verfahren lösen, z. B. Gauß-Verfahren, und somit die
Koeffizienten a3, a2, a1, a0 bestimmen
4) die Nullstelle(n) der Gleichung
a3 x^3 +a2 x^2 +a1 x +a0 -log (y) = 0
bestimmen mit den Cardanischen Lösungsformeln. Dabei den Parameter y
unaufgeloest lassen.
5) für einen bestimmten Wert y bestimmen, ob als Funktion cos, cosh oder sinh zur Anwendung kommt.
6) den Wert für x bestimmen
7) Probe durchführen (x*e^{x^2} soll in etwa y ergeben)
Dann ergibt sich zum Beispiel:
1) Intervall auswählen, das angenähert werden soll
-> zum Beispiel
x1 = 0.5,
x2 = 1.0,
x3 = 1.5,
x4 = 2.0
2) für das Intervall ein kubisches Gleichungssystem mit 4 unbekannten Koeffizienten aufstellen
- 4 gleichabständige Stellen auswählen
- die Funktionswerte jeweils logarithmieren
- eine Zeile lautet also:
a3 xi^3 +a2 xi^2 +a1 xi +a0 -log (f(xi)) = 0
a3 (1/8) +a2 (1/4) +a1 (1/2) +a0 -log (0.5 * e^0.25) = 0
a3 (1) +a2 (1) +a1 (1) +a0 -log (e) = 0
a3 (27/8) +a2 (9/4) +a1 (3/2) +a0 -log (1.5 * e^2.25) = 0
a3 (8) +a2 (4) +a1 (2) +a0 -log (2 * e^4) = 0
3) das Gleichungssystem mit einem Verfahren lösen, z. B. Gauß-Verfahren, und somit die
Koeffizienten a3, a2, a1, a0 bestimmen
a3 = 0,226532
a2 = -0,254960
a1 = 2,872304
a0 = -1,843875
4) die Nullstelle(n) der Gleichung
a3 x^3 +a2 x^2 +a1 x +a0 -log (y) = 0
bestimmen mit Lösungsformeln für Gleichungen 3. Grades. Dabei den Parameter y
unaufgeloest lassen.
(0.226532 x -0.084987)^3 + 0.629001 (0.226532 x -0.084987) -0.0040551 -0.226532^2 * ln y = 0
p = +0.629001
q = -0.0040551 -0.226532^2 * ln y
x0 = 0.375164 +2.021321 * (2 * trig 1/3 arc (0.211193 +0.267260 * log (y)))
5) für einen bestimmten Wert y bestimmen, ob als Funktion cos, cosh oder sinh zur Anwendung kommt.
bestimmt werden soll z.B. xu für y = 0,75
-> p = +0.629001 -> tr ig = sinh und arc = arsinh
-> zur Anwendung kommt trig = cos mit arc = acos
6) den Wert für x bestimmen
-> x1 = 0.375164 +2.021321 * (2 * sinh 1/3 arsinh (0.211193 +0.26726 * log (0.5 * e^0.25)))
= 0.50000038 (w)
-> x2 = 0.375164 +2.021321 * (2 * sinh 1/3 arsinh (0.211193 +0.26726 * log (1 * e^1)))
= 0.99999966 (w)
-> x3 = 0.375164 +2.021321 * (2 * sinh 1/3 arsinh (0.211193 +0.26726 * log (1.5 * e^2.25)))
= 1.49999903 (w)
-> x4 = 0.375164+2.021321 * (2 * sinh 1/3 arsinh (0.211193 +0.267260 * log (2 * e^4)))
= 1.99999855 (w)
-> x01 = 0.375164 +2.021321 *(0.08930068) = 0.555669339
7) Probe durchführen (x*e^{x^2} soll in etwa y ergeben)
y01 = x01*e^{x01^2} = 0.756681 -> y01 * 0.99117 = 0.75 -> Korrekturfaktor 99 %
