Reihenentwicklung Sinus Kosinus

Question

sin(2x)=2cos(x)sin(x)

wie kann man das mit der reihendarstellung/entwicklung beweisen ??

hätte da jemand eine Idee ??

Comments

Schreibe dir zunächst die Reihenentwicklung von

sin(x) = ...

cos(x) = ...

sin(2x) = ...

auf.

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sin(x)= sigma (-1)^n *x^{2n+1} / (2n+1)!
cos(x)= sigma (-1)^n *x^{2n} / (2n)!

bei sin(2x) weiß ich gar nicht wie man das macht ??;/

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Du setzt in die Reihenentwiklung von sin(x) für das x einfach nur (2x) ein und vereinfachst es dann.

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man kann das doch gar nicht vereinfachen da ändert sich doch nur das x macht ja kaum ein unterschied

Answer 1

Du kannst die Taylorreihe (Entwicklung um xo=0 ) einmal m it dem einen und einmal mit dem anderen Term machen:

bei ersten hast du

f(x) = sin(2x)             0

f ' (x) = 2cos(2x)        2

f ' ' (x) = -4 sin(2x)       0

f ' ' ' (x) = - 8 cos(2x)       -8

f ' ' ' ' (x) = 16 sin(2x)        0

etc.

und für x=0 also die roten Werte .

Wenn du den anderen Term nimmst, bekommst du

g(x) = 2cos(x)sin(x)

g ' (x) = -2 + 4 cos^2(x)

g  ' ' (x) = - 8 sin(x) cos(x)

g ' ' ' (x) = 8 - 16 cos^2(x)

g  ' ' ' ' (x) = - 8 sin(x) cos(x)   

etc.

und wenn du für x=0 einsetzt ergeben sich die gleichen roten Werte.

Also sind beide Reihenentwicklungen gleich.

Comments

ich kenn die taylorreihe nicht deswegen weiß ich auch gar nicht was du da machst

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Er macht eine Reihenentwicklung von beiden Termen.

Das nennt sich dann auch Taylorpolynom bzw. Taylorreihe.

Er bestimmt allerdings nur die sich verändernden Faktoren. Und da diese gleich sind sind die reihen gleich.

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aber ich glaub ich darf das nicht benutzen weil in der aufgabe steht wie dürfen das benutzen ohne es zu beweisen

[n]sigma[k=0]  (2n+1)

=2^2n

( 2k+1)

ich weiß nicht ob das jemand versteht

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Vielleicht stellst du mal ein Bild der Aufgabe ein. Das erspart und dann das Rätseln.

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Man braucht doch nicht zu rätseln.
Die angegebene Summe kann man gut gebrauchen, um das Cauchy-Produkt gescheit auszuwerten.

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hier ist ein Foto :D

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hoffentlich kann man das jetzt sehen hat grad nicht geklappt