Orthonormalbasis aus Skalarprodukt bestimmen

Question

Seien x₀ = −2, x₁ = −1, x₂ = 0, x₃ = 1, x₄ = 2. Auf V = {f ∈ R[X] | deg(f) ≤ 4} ist durch 

⟨f, g⟩ = ∑_i=0⁴ f(x_i)g(x_i)

ein Skalarprodukt gegeben.

Nun soll ein Orthonormalbasis von V bestimmen. Dass das mit dem Gram-Schmidt-Verfahren geht weiß ich, allerdings hab ich keine Ahnung wie man von obiger Angabe auf die Vektoren kommt

Answer 1

Du gehst wohl am besten von der Standardbasis aus 1 , x , x^2 , x^3 ,x^4

und wendest Gram-Schmidt darauf an. Ich verwende mal die

Terminologie von https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens

Die w1 bis w5 sind also dann 1 , x , x^2 , x^3 ,x^4

Der erste "Vektor"  w1 ist also das Polynom 1+0x+0x^2+0x^3+0x^5

Dann bestimmst du dessen "Länge", also die Wurzel aus dem  Skalarprodukt mit sich selbst,

das wäre bei dir   <w1,,w1> = ∑_i=0⁴ w1(x_i)w1(x_i)  = 1*1 +1*1+1*1+1*1+1*1 = 5

also || w1 || = √5 also   v1 = 1/√5

w2 ist x also brauchst du für v2' = w2 -  < v1, w2 >*v1

eest mal < v1, w2 > ausrechnen:

= ∑_i=0⁴ 1/√5 w2(x_i)  = ∑_i=0⁴ 1/√5*(x_i)      denn w2 ist ja x also w2(xi) = xi

=  1/√5*(-2) +1/√5*(-1) + 1/√5*0 + 1/√5*1 + 1/√5*2 = 0

Prima, dann ist  v2' = w2 und man muss nur noch normieren

< v2 ' , v2 ' > = = ∑_i=0⁴ v2 '(xi) ^2 =  4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10

also  v2 =  x/√10  

jetzt v3 ' =   w3 -  < v1, w3 >*v1  -  < v2, w3 >*v2 

Dazu erst mal die Skalarprodukte ausrechnen:

< v1, w3 > =  ∑_i=0⁴ 1/√5*(x_i)^2     denn w2 ist ja x^2  also w2(xi) = xi^2 

etc....

Comments

Wozu steht dann in der Aufgabe x₀ bis x₄?

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< v1, w3 > =  ∑_i=0⁴ 1/√5*(x_i)²     denn w2 ist ja x²  also w2(xi) = xi² 

Das sind die Werte, die quadriert werden:

    = 1/√5*(x₀)²   + 1/√5*(x₁)²   +  1/√5*(x₂)²     + 1/√5*(x₃)²   +  1/√5*(x₄)²  

= (1/√5) *  ( (x₀)²   + (x₁)²   +  (x₂)²     +(x₃)²   +  (x₄)²  )

= (1/√5) *  ( 4   + 1  +  0    +1  +  4 ) = 10 / √5

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Ahhhh, jetzt hab ich's verstanden. Vielen Dank

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Also <v2, w3> is dann ∑_i=0⁴  1/√10(x_i)² = 10/√10

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v2 = x/√10      w3 = x^2 also

v2(xi)*w3(xi) = x_i/√10   *  (x_i)²  =    (x_i)³ / √10  also

∑_i=0⁴  1/√10(x_i)³ = (-8 + -1  + 0 +1 + 8 ) / √10   = 0