Diese Gleichung nach x auflösen?

Question

für meine Übung der Uni in Mathematik I soll ich alle Lösungen für x in der Menge ausgeben. x soll dabei Element von den reellen Zahlen sein, jedoch nicht 3.

Die Gleichung lautet:

1 / (x-3)²+7 = 2x

Habe nun sehr viele Wege verwendet aber komme einfach auf keine Lösung, könnte mir vielleicht jemand den Weg erläutern?

Answer 1

Hi,

1 / (x-3)²+7 = 2x    |*(x-3)^2

1 + 7(x-3)^2 = 2x(x-3)^2   |Ausmultiplizieren

2x^3-19x^2+60x-64 = 0 |:2

x^3 - 9,5x^2 + 30x - 32 = 0  

Nun schauen wir uns das Absolutglied an, denn ein ganzzahliger Teiler davon mag eine Nullstelle sein.

So ist x = 4 eine Lösung der obigen Gleichung.

Nun noch eine Polynomdivision und wir erhalten

(x-4)(x^2-5,5x+8) = 0

Für letzteres die pq-Formel ansetzen, was keine weiteren reellen Lösungen ausspuckt.

Es ist also L = {4}

Grüße

Comments

2. Zeile muss sein

...=2x(x-3)^2

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@Unknown Du scheibst

1 / (x-3)²+7 = 2x    |*(x-3)²

1 + 7(x-3)² = 2(x-3)²   | Ist da nicht ein x vergessen worden?

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Ein Tippfehler. Danke. Hatte mit den korrekten Werten weitergerechnet ;).

Answer 2

1 / (x-3)² + 7 = 2x              D = ℝ \ {3}

1 / (x-3)²  = 2x - 7   

1  =  (2x - 7) *  (x -3)²

1 = (2x - 7) *  (x² - 6x + 9)

1 = 2·x³ - 19·x² + 60·x - 63

2·x³ - 19·x² + 60·x - 64 = 0

Durch Probieren (hier eignet sich die Gleichung in Zeile 3 sehr gut)  findet man die Lösung  x₁ = 4 

Polynomdivision:

(2x³  - 19x²  + 60x  - 64) : (x - 4)  =  2x² - 11x + 16  

 2x³  -  8x²

 ————————-------

       - 11x²  + 60x  - 64

       - 11x²  + 44x

       ————————-

                  16x  - 64

                  16x  - 64

                  —————

                          0

Die quadratische Gleichung  2x² - 11x + 16 = 0   ergibt keine weiteren reellen Lösungen.

→ L = {4}

Gruß Wolfgang