Betragsungleichung / Betragsgleichung |z-1+2i|= |z+3-i|

Question

Hallo ich brauche den rechenweg und die Lösung für diese Gleichungen bzw. Ungleichung

|z-1+2i|= |z+3-i|

|(z-1)|(z+1)| <_ 1

Comments

| (z-1) | (z+1) | <_ 1

Soll das Zeichen im Betragsterm ein geteilt sein?
Auf der rechten Seite ein minus ?

| (z-1) / (z+1) | <  - 1

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Ja genau das ist ein geteilt und minus

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Ah sorry das soll kleiner gleich 1 sein

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Vom Duplikat:

Titel: Bitte um die Lösungsmenge der Betragsgleichung mit komplexen Zahlen

Stichworte: komplexe,zahlen

die Gleichung ist wie folgt:

|z-1+2i|=|z+3-i|

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siehe hier:

https://www.mathelounge.de/488973/betragsungleichung-gleichung#a488978

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Vom Duplikat:

Titel: Bruch Betrag komplexe Zahl z. |(z-1)| / |(z+1)| ≤ 1

Stichworte: komplexe,zahlen,betrag,ungleichung

vlt kann mir jemand die lösungsmenge von dieser betragsungleichung acvicken und mir erklären wie er auf den rechenweg gekommen ist.

|(z-1)| / |(z+1)| ≤ 1

(Kleiner, gleich 1 soll es heißen)

Answer 1

Hiho! :-)

Vielleicht mal etwas Anschauliches: :-O

|z-1+2i| = |z+3-i|
Wir schreiben die Beträge so um, dass sie Differenzen enthalten
|z - (1-2i)| = |z - (-3 + i)|

Die Beträge lassen sich als Abstände^(*) interpretieren:
Gesucht ist die Menge aller z, deren Abstände von 1-2i und von -3+i gleich sind. Das sind die Zahlen z, die auf der Mittelsenkrechten g der Strecke von 1-2i nach -3+i liegen. (Guckst du Bild.)

Wir definieren der einfacheren Schreibselei wegen x als den Realteil und y als den Imaginärteil einer komplexen Zahl:
x := Re(z)
y := Im(z)

Mit Hilfe der Geraden h: y = -0,75x - 1,25 und des Punktes P bekommen wir die Gerade g: y = 4/3x + 5/6.
Auf der Geraden g liegen alle z, die der Gleichung |z-1+2i| = |z+3-i| genügen.
Haben fertig L = {z = x + y i |  y = 4 / 3 x + 5 / 6}
_{(Vgl. Antwort von Grossesplüschtier(SCNR): b = 1/6(8a +5) = 4/3 a + 5/6 kann man als Menge schreiben ==> L = {z=a+bi | b = 4/3 a + 5/6}}

Bsp.: DIe komplexe Zahl z hat zu -3 + i sowie zu 1 - 2i den gleichen Abstand.

 

(*) (vgl. Definition Abstand bzw. Summe/Differenz von Vektoren)

Beste Grüße

Comments

Wie kamst du auf die Geradengleichung?

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Repetiere das Kapitel Geradengleichungen.

Bsp. mit https://youtu.be/2W_qW7Rfh9c

und https://www.matheretter.de/mathe-programme?id=160

Answer 2

Setze z=a +ib

|z-1+2i|= |z+3-i|

|a +ib-1+2i =|a+ib+3-i|

√( (a-1)^2 +(b+2)^2)= √ ((a+3)^2 +(b-1)^2) | (..)^2

 (a-1)^2 +(b+2)^2 =(a+3)^2 +(b-1)^2

a^2 -2a +1 +b^2 +4b +4= a^2+6a+9 +b^2-2b+1

 -2a +5 +4b = 6a+10 -2b

-8a  +6b  -5  =0

b   = 1/6(8a +5)

Comments

Wird die lösungsmenge nicht mit L= geschrieben?

Answer 3

| ( z-1) / (z+1) | <  - 1

Da kommt nichts Vernünftiges bei herum

positiv < - 1 geht nicht.

Comments

Ah sorry das soll kleiner gleich 1 sein

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Die linke Seite und die rechte Seite sind
positiv. Es kann quadriert werden werden
ohne das sich das Relationszeichen ändert.

Bei einer Division durch z :
ist z > 0 stimmt die Gleichung stets.
Ist z < 0  wird die Gleichung falsch.

Also z > 0.
Die Lösung wurde grafisch überprüft.

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z ist eine komplexe Zahl.

Aussagen wie z>0 oder z<0 machen daher keinen Sinn.

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Diese Antwort war doppelt und wurde gelöscht :-O

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Frage existiert bereits: Betragsungleichung / Gleichung

Okay, ich verpflanze gleich mal meine Antwort dorthin :D

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Done.                                         

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EDIT: So verdoppeln sich die Antworten beim Verschmelzen der Duplikate :)

Answer 4

|(z-1)| / |(z+1)| ≤ 1

|(z-1)|  ≤ |(z+1)|

mit z= a+bi also

|(a+bi-1)|  ≤ |(a+bi+1)|

|(a-1+bi)|  ≤ |(a+1+bi)|

√ (( a-1)²+b² )  ≤ √ (( a+1)²+b² )

   ( a-1)²+b²   ≤ ( a+1)²+b²

   ( a-1)²  ≤ ( a+1)²

   a²-2a + 1   ≤  a² +2a + 1

           -2a  ≤   2a

                0  ≤   4a

               0  ≤   a

Also alle Punkten die auf oder rechts von der imaginären Achse liegen.