Integralrechnung - Bestimmen des Parameters a

Question

Folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie, für welchen Wert des Parameters a > 0 die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche den Inhalt A hat.

f(x) = ax^2

g(x) = x

A = 2/3

Ich hab bereits die Schnittstellen 0 und 1/a herausgefunden. Wie fahre ich nun fort?

Comments

Die Parabel ist nach oben offen und die Gerade im Integrationsintervall von 0 bis 1/a oberhalb der Parabel. Es gilt also die Integralgleichung
$$\int_0^{1/a} \left(g(x)-f(x)\right)\,\text{d}x = A $$nach \(a\) aufzulösen.

Answer 1

Man hat ja:

$$ \int_0^\frac{1}{a}{(ax^2-x)}~ dx=\Bigg|\Big[\frac{a}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2 \Big]_0^{\frac{1}{a}} \Bigg|=\frac{1}{6a^2}\stackrel{!}{=}\frac{2}{3} $$

Nach aufgelöst ergibt das:

$$ \frac{1}{6a^2}=\frac{2}{3} \Leftrightarrow a^2=4 \Rightarrow a_1=\frac{1}{2}\quad a_2=-\frac{1}{2}$$

Comments

Man muss dann quasi 1/a für x einsetzen richtig? 

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Genauso ist es. Statt hier eine ,,konkrete Zahl'' als Lösung zu bekommen, bekommt man einen Term als Lösung, den man dann mit der geforderten Fläche gleichsetzt. Eine Gleichung ist entstanden, die nun gelöst werden muss.

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Ich hab leider keinen Schimmer wie ich (1/3a)*(1/a)³-(1/2)*(1/a)²

dann am Ende Zusammenfasse. Danke für die Hilfe :)

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bei dir ist vorne im Ergebnis das a falsch.

$$ \frac{a}{3}\cdot \Big(\frac{1}{a}\Big)^3-\frac{1}{2}\cdot \Big(\frac{1}{a}\Big)^2=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{a^2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{a^2}=\frac{1}{3a^2}-\frac{1}{2a^2}=\frac{3a^2-2a^2}{6a^2}=\frac{1}{6a^2} $$