Erwartungswert einer Zufallsvariablen.

Question

Aufgabe:

Betrachte allgemein n Teilchen, die rein zufällig und unabhängig voneinander auf n Fächer verteilt werden. Die Zufallsvariable X_n  gebe die Anzahl der (u.U mehrfach) besetzten Fächer an

z.z E(X_n) = n(1-(1-1/n)ⁿ )

Definieren Sie X_n als Zufallsvariable auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum.

Problem/Ansatz:

Der Erwartungswert ist ja immer die Summe der einzelnen Werte multipliziert mit ihren Wahrscheinlichkeiten. Ich weiß aber nicht, wie ich hier ansetzen soll. Die Werte sind ja 1-n, deren Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich. Ich gehe davon aus, jedes Fach hat die Wahrscheinlichkeit von 1/n, getroffen zu werden. Und ich werfe n Kugeln. Wie kriege ich darauf eine Formel, die der oberen Entspricht ? Die ganzen " 1-" lassen mich glauben, dass hier die Wahrscheinlichkeit über das GEGENErgeignis (q = 1-p) definiert wurde.

Comments

Ich brauch bitte bitte Hilfe bei der Aufgabe :(

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Bitte Geduld. Schau dir mal die Liste der Fragen ohne Antworten an: https://www.mathelounge.de/unanswered Da warten einige schon zwei, drei Tage auf eine Reaktion. Du kannst gern Duplikate kennzeichnen, damit diese nicht doppelt beantwortet werden, falls noch jemand Zeit hat.

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Kannst du zunächst die Wahrscheinlichkeit bestimmen, das bei Verteilung von n Teilchen auf n Fächer nur genau k Fächer belegt sind

P(k) = ...

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Wäre das sowas wie n*(n über k) ?
Weil ich ja aus den Fächern eine k elementige Teilmenge herausnehme.

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Ich denke für n = 3 oder n = 4 kannst du das ja mal probieren. Stimmt das dann mit deiner Formel überein?

Answer 1

Hallo akition, bitte zeige zunächst, dass die gegebene Formel für n = 1, 2 und 3 stimmt.  Fangen wir mit n = 1 an.  Wie groß ist P(X₁ = 1)?  Wie groß ist E(X₁)?  Zum Vergleich:  Welchen Wert ergibt die gegebene Formel für n = 1?

Comments

Hallo akition, schade, keine Antwort.  Ich hätte dir gerne bei deiner Aufgabe geholfen.