Bestimme den Kern der Abbildung und dessen Dimension

Question

Aufgabe:

Bestimme den Kern  der Abbildung  und dessen Dimension.

$$K:\quad{ R }_{ \le 4 }[x]\rightarrow a{ x }^{ 4 }+b{ x }^{ 3 }+c{ x }^{ 2 }d{ x }^{ 1 }e{ x }^{ 0 }\rightarrow \begin{pmatrix} a+b & e-d \\ e+d & 2e \end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

Stimmt mein Ergebnis?

$$-\quad Kern(K)=\left\{ a({ x }^{ 4 }-{ x }^{ 3 }):\quad a\epsilon R \right\} \\ -\quad dim(Kern(K))=1$$

Comments

Vlt so?

$$-\quad Kern(K)=\left\{ a({ x }^{ 4 }-{ x }^{ 3 })+c{ x }^{ 2 }c:\quad a,c\epsilon R \right\} \\ -\quad dim(Kern(K))=12$$

Answer 1

Ist es nicht eher so:

$$a{ x }^{ 4 }+b{ x }^{ 3 }+c{ x }^{ 2 }+d{ x }^{ 1 }+e{ x }^{ 0 }\rightarrow \begin{pmatrix} a+b & e-d \\ e+d & 2e \end{pmatrix}$$

Dann wäre dein Ergebnis falsch, denn es wäre  beim Kern

e=0 und d=0  und  b=-a , also im Kern alle

$$a{ x }^{ 4 }-a{ x }^{ 3 }+c{ x }^{ 2 }$$

also 2-dimensional.

Comments

Ups habe mich oben schon verbessert und deine Antwort nicht gesehen, also würde meine obere Lösung (im Kommentar stimmen?

$$-\quad Kern(K)=\left\{ a({ x }^{ 4 }-{ x }^{ 3 })+c{ x }^{ 2 }c:\quad a,c\epsilon R \right\} \\ -\quad dim(Kern(K))=12$$

---

Ich denke eher so:

$$-\quad Kern(K)=\left\{ a({ x }^{ 4 }-{ x }^{ 3 })+c{ x }^{ 2 }:\quad a,c\epsilon R \right\} \\ -\quad dim(Kern(K))=2$$