Aufgabe:
Beweise , dass für n (für N) gilt :
$$\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6}$$
Problem/Ansatz:
Als erstes kommt der Ind.anfang :(prüfen ob es für n=1 gilt )
gesagt, getan:
$$\sum_{k=1}^{1} k^{2}=1^{2}=1$$
und
$$\frac{1 \cdot(1+1) \cdot(2 \cdot 1+1)}{6}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}=\frac{6}{6}=1$$
Danach im 2.Schritt die Ind.voraussetzung(das bedeutet ja, dass man annimmt, dass die obige Formel stimmt.) und Ind.behauptung(gilt auch für n+1)
Induktionsvoraussetzung:
$$\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6}$$
Induktionsbehauptung:
$$\sum_{k=1}^{n+1} k^{2}=\frac{(n+1) \cdot(n+2) \cdot(2 n+3)}{6}$$
Wie sieht jetzt der letzte Schritt (generell) aus (sprich der Beweis) ?Wie "heißt " der Schritt ?
Beim letzten Schritt habe ich immer meine Probleme.
