Wir haben ein Polynom mit Grad 2. Es bietet sich also an erstmal eine 2x2 Matrix zu suchen, denn deren charakteristisches Polynom ist auch vom Grad 2. Das richtige Stichwort lautet hier: Satz von Cayley-Hamilton. Dieser sagt: ist \( A \) eine Matrix mit charakteristischem Polynom \( \chi_A(t) = t^2 + 2t + 5 \), so ist \( \chi_A(A) = A^2 + 2A + 5I = 2A^2 + 4A + 10I = 0 \).
Also reicht es eine Matrix mit diesem charakteristischen Polynom zu finden. Wir wählen \( A \) allgemein
$$ \chi_A(t) =\det\begin{vmatrix} t - a & -b\\ -c & t -d\end{vmatrix} = t^2 - (a+d)t + ad -bc $$
und wählen jetzt \(a,b,c,d\) so, dass \(-(a+d) = 2\) und \( ad-bc = 5 \) (Koeffizientenvergleich!)
Also z.B. \( a = -2, d=0, b = -5, c = 1 \) und erhalten
$$ A = \begin{pmatrix} -2 & -5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
Diese Matrix erfüllt die geforderte Eigenschaft \( 2A^2 + 4A = -10I \).
-------------------------------------
Für \( n \times n \) Matrizen mit \(n\) gerade. Können wir einfach die Blockmatrix
$$ B := \begin{pmatrix} A & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & A \end{pmatrix} $$
verwenden, denn
$$ \begin{aligned} 2B^2 + 4B &= \begin{pmatrix} 2A^2 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & 2A^2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4A & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & 4A \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} -10I_2 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & -10I_2 \end{pmatrix} \\&= -10I_n \end{aligned}$$
-------------------------------------
Für \( n \times n \) Matrizen mit \(n\) ungerade, existieren solche Matrizen nicht, denn angenommen es gibt eine solche Matrix \( B\)
$$ B^2 + 2B +5I_n = 0 \Longleftrightarrow B^2 +2B + I_n = -4I_n \Longleftrightarrow (B+I_n)^2 = -4I_n $$
beim letzten Schritt haben wir verwendet, dass \(B\) stets mit \( I _n\) kommutiert. Somit kann der binomische Lehrsatz (hier der Spezialfall binomische Formel) angewendet werden. Damit gilt aber
$$ \underbrace{\det(B+I_n)^2}_{\ge0} = \det((B+I_n)^2) = \det(-4I_n) = \underbrace{(-4)^n}_{<0} $$
Widerspruch. Für n ungerade existiert somit keine Matrix, die die Gleichung erfüllt.
