Extremwertaufgabe "Gewächshaus" (Trapez)

Question

Aufgabe:

Eine Gärtnerei möchte ein neues Gewächshaus bauen. Die Frontfläche soll ein Trapez sein, so dass außen kleinere und in der Mitte größere Pflanzen untergebracht werden können. Außerdem gilt die Vorgabe, dass der Umfang am Boden soll 100 Meter lang sein soll, da diese Länge durch das geplante Bewässerungssystem ideal abzudecken ist. Die breite "d"soll zudem halb so lang sein wie die Länge "a", damit der Mittelgang in voller Höhe breit genug ist für alle notwendige Maschinen ist. Um die Decke mit möglichst wenigen Stützpfeilern abzustützen gilt schließlich noch, dass die Höhe "c" einem sechstel der Länge "a" entsprechen soll.

Problem/Ansatz:

HB: (b+d)*c /2

NB: 2d+2b=100 /-2b

2d=100-2b / /2

d=50-b

wie komme ich auf die Zielfunktion?

Comments

Bitte stelle doch mal die komplette Aufgabenstellung inkl. Skizze zur verfügung.

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Kann leider Keine Graphik einfügen.

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Dann kann ich leider nicht helfen.

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 Ich hoffe du kannst die Graphik verstehen:)

Answer 1

NB

2·a + 2·b = 100 → b = 50 - a

d = 1/2·a

c = 1/6·a

HB

V(a) = 1/2·((50 - a) + (1/2·a))·(1/6·a)·a

V'(a) = 0 → a = 200/3 = 66.67

V(200/3) = 1/2·((50 - (200/3)) + (1/2·(200/3)))·(1/6·(200/3))·(200/3) = 6173 m³

Die Lösung hat allerdings einen wesentlichen Schönheitsfehler. Vielleicht findet der Fragesteller diesen Fehler.

Comments

ok, ist die Obengenannte HB richtig? weil mein Lehrer meinte dass bei der HB etwas fehlt.

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Wenn das Volumen zu maximieren ist ergibt sich das Volumen aus

V = 1/2(b + d)*c * a

und damit ergibt sich dann meine Zielfunktion. Aber beachte das dort trotzdem ein Schönheitsfehler drin ist. Du solltest ihn suchen.

Und dann eventuell doch nochmal die richtige und vollständige Aufgabenstellung zur Verfügung stellen.

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ok, vielen Dank ich versuch es.

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wie hast du V(a) abgeleitet? komme einfach nicht darauf:

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Du solltest V(a) erstmal vereinfachen zu

V(a) = 25/6·a^2 - a^3/24

Ableiten ist dann ein Kinderspiel.

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Dann bekomm ich bei der Abl. 25/3a -a²  /8=0

jzt ausklammern oder?

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Genau. Dann ausklammern und gleich Null setzen.

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 ich weiß nicht wie man -a² /8 ausklammert.

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Du brauchst nur a ausklammern. Es kann dir euch ein Tool wie die App Photomath helfen beim Lösen von Gleichungen.

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Vielen Dank, ich habe die Aufgabe gelöst.

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Hast du den Fehler gefunden?

Hast du b, c und d berechnet?

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ich hab das Maximale Volumen, jedoch brauche ich die länge von b, d und c

a= 66,66 wenn ich das in die Nebenbedingung von b= 50-a kommt eine negative Zahl raus

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Da ist ein Fehler finde den aber nicht

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b= 50-a kommt eine negative Zahl raus

Du hast den Fehler ja gefunden. Macht ein negativer Wert Sinn? Besprecht das mal mit eurem Lehrer.

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Ein negativer Wert macht doch kein sinn

Answer 2

  

Nehmen wir an, das Volumen soll in Abhängigkeit von x maximal werden. Dann lautet die Nebenbedingung 3a=100 und die Hauptbedingung V(x)=1/2(a/2+x)·a/6·a.

Comments

Nehmen wir an, das Volumen soll in Abhängigkeit von x maximal werden

Ach, wenn doch alle Extremwertaufgaben so einfach wären !

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wie hast du das Trapez erstellt?

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In deiner Skizze ist mein x das, was du d nennst. Der Aufgabentext ist unklar und unvollständig.

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Der Aufgabentext ist unklar und unvollständig. 

Macht doch nichts, Hauptsache man bekommt die Lösung  V_max = 6173 m^3  heraus.

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Ich habe es so formuliert, wie es in der Aufgabe steht.