Innenwinkel zwischen Vektoren untersuchen

Question

Aufgabe:

Seien \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) ∈ ℝ³ beliebige Vektoren und Φ ∈ [0, π] der Innenwinkel zwischen \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \). Untersuchen Sie, ob es ein φ gibt mit

\( \vec{a} \) • \( \vec{b} \) = |\( \vec{a} \) x \( \vec{b} \)|

und geben Sie ein solches φ im Falle der Existenz an.

Problem/Ansatz:

Ich habe nun erstmal die Vektoren \( \vec{a} \) = (1, 1, 1) und  \( \vec{b} \) = (1, 0, 0) als Beispiele genommen.

Diese dann in sin φ = |\( \vec{a} \) x \( \vec{b} \)| / \( \vec{a} \) • \( \vec{b} \) gesetzt und ausgerechnet.

Herauskam:

Sin φ = 0 / √3 * √1 | * sin -1

φ = 0

Ist das denn so richtig?

Falls dies falsch sein sollte, würde ich mich über Lösungsansätze und Lösungswege freuen.

Answer 1

\(|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\varphi\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi\)

Die beiden Ausdrücke haben den gleichen Wert, wenn Sinus und Cosinus gleich sind.

\(\sin\varphi=\cos\varphi \Rightarrow \varphi=45°\)

Eine weitere Möglichkeit ist, dass \(\vec{a}\) oder \(\vec{b}\) der Nullvektor ist.

PS: Deine Lösung ist leider falsch.

Comments

Wäre es möglich, dass du mir den richtigen Lösungsweg zeigen könntest?

Ich weiß leider nicht, wie ich da sonst vorgehen soll...

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Ich habe dir den richtigen Lösungsweg doch aufgeschrieben. Die Auf gabe lautet doch, dass Skalarprodukt und Betrag des Vektorprodukts gleich sein sollen. Das habe ich ausführlich notiert.

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Oh... Okay.

Die Aufgabe verwirrt mich komplett. Ich verstehe es trotzdem noch nicht so wirklich.

Ich bedanke mich dennoch für deine Lösung zu der Aufgabe.

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Guck dir doch mal an, welche Gleichung untersucht werden soll.

(3. Zeile der Aufgabe)

Links steht das Skalarprodukt.

Rechts das Vektorprodukt mit Betragsstrichen.

Die beiden Ausdrücke habe ich in meiner Lösung notiert und mit den Formeln, die du bestimmt kennst umgeschrieben. (1. und 2. Zeile meiner Lösung)

Die beiden rechten Seiten sehen doch fast gleich aus und unterscheiden sich nur im Sinus und Cosinus.

Damit beide gleich sind muss Sinus gleich Cosinus sein.

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Ich verstehe nur nicht, weshalb in der ersten Zeile der Aufgabenstellung dann die Information ist mit Φ ∈ [0, π].

Deshalb bin ich verwirrt. Muss man bei dieser Aufgabe kein Beispiel geben?

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Nichts leichter als das. :-)

Wenn zwei Vektoren vom gleichen Punkt ausgehen, entstehen zwei Winkel. Der kleinere von ihnen liegt dann immer zwischen 0° und 180°. Im Bogenmaß entspricht 180° dem Winkel \(\pi\).

45° entspricht dann \(\frac{1}{4}\pi\).

Verstehst du denn Gradmaß und Bogenmaß eines Winkels?

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Achso! Somit ist der Winkel φ ∈ [0, π], da 45° 1/4 π entsprechen?

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Genau! :-)

Deine Frage nach einem Beispiel:

In der Aufgabe steht nur, dass du den Winkel angeben musst. Von Beispielen von Vektoren, steht da nichts.

Wenn du es verstanden hast, darfst du mir gerne einen Daumen hoch geben.