Abstand von Komplexen Zahlen

Question

Betrachten Sie zwei komplexe Zahlen u,w ∈ C in der oberen Halbebene, d.h. mit Im(u) ≥ 0 und Im(w) ≥ 0. Illustrieren Sie folgende Aussage mit einer Skizze, drücken Sie diese als Formel aus und beweisen Sie die Formel mit den Rechenregeln in C: „Der Abstand von u zu w ist höchstens so groß wie der Abstand von u zu (komplex-konjugiertes w).“

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Als Formel hätte ich jetzt | u - w | <= | u - (komplex-konjugiertes w) |

Komplex-konjugiertes w bedeutet dass ein Strich über dem w steht.

Answer 1

Es wäre sehr nett wenn hier mal ein Fachman drüber schauen könnte, weil ich in dem Thema nicht ganz so fit bin.

u = a + bi ; w = c + di

|u - w| ≤ |u - w¯|

| (a - c) + (b - d)i | ≤ | (a - c) + (b + d)i |

| (a - c) + (b - d)i |^2 ≤ | (a - c) + (b + d)i |^2

(a - c)^2 + (b - d)^2 ≤ (a - c)^2 + (b + d)^2

(b - d)^2 ≤ (b + d)^2

b^2 - 2 bd + d^2 ≤ b^2 + 2 bd + d^2

- 2 bd ≤ 2 bd

Comments

Vielen Dank! :)

Answer 2

Hallo

 hast du es als Skizze, dann kannst du damit rechnen  und mit den Winkeln oder notfalls mit z=x+iy, w=u+iv ; v, y>=0 wegen obere Halbebene