Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dgl. y‘−y=(2x−1)·e^(x^2)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dgl.

y‘−y=(2x−1)·e^(x^2)

Problem/Ansatz:

Ich bekomme diese Dgl nicht mit dem Ansatz „Trennung der Variablen“ hin.

dy/dx=(2x-1)*e^(x^2)+y

dy-y=(2x-1)*e^(x^2)*dx

Weiter komme ich nicht, ich hoffe Sie können mit helfen.

Answer 1

Hallo winster,

die homogenen Lösungen sollten klar sein: \( y_h(x) = c \cdot e^x \), \( c \in \mathbb{R} \)

Schau dir die rechte Seite jetzt mal genauer an: \( (2x-1) e^{x^2} = 2x e^{x^2} - e^{x^2} = \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} e^{x^2} - e^{x^2} \)

Jetzt vergleiche mit der linken Seite: \( \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}y - y  = \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} e^{x^2} - e^{x^2} \), \( y_p(x) = e^{x^2} \) ist also die partikuläre Lösung.

Allgemeine Lösung: \( y(x) = c \cdot e^x  + e^{x^2} \)

Wenn man das nicht sieht, kann man die DGL auch mit \( e^{-x} \) durchmultiplizieren, dann steht auf der linken Seite: $$ e^{-x}\left(\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}y\right) - \left(e^{-x}\right) y = e^{-x}\left(\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}y\right) + \left(\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}e^{-x}\right)y = \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left(e^{-x}y\right) $$

Dann kann man auf beiden Seiten integrieren. 

Answer 2

einfach aus dem Mathe-Formelbuch abschreiben

Inhomogene lineare Dgl 1.Ordnung

y´+P(x)*y=Q(x)

Lösungsformel: y=f(x)=1/u(x)*∫u(x)*Q(x)*dx  mit u(x)=e^(∫P(x)*dx)  ist der integrierende Faktor

y´-1*y=(2*x-1)*e^(x²)

P(x)=-1 → ∫-1*dx=-1*x

u(x)=e^(-1*x)

y=f(x)=1/(e^(-1*x)*∫e^(-1*x)*(2*x-1)*e^(x²)*dx

f(x)=e^(1*x)*∫1/e^(1*x)*...=∫e^(1*x)/e^(1*x)...=∫2*x*e^(x²)*dx-1*∫e^(x²)*dx

Das Integral muß dann gelöst werden

Weitere Infos,siehe Mathe-Formelbuch,Differentialgleichungen