Quadratintegrierbare Zufallsvariable zeigen?

Question

Wisst ihr wie man diese Aufgabe löst?

Es sei \( X \) eine quadratintegrierbare Zufallsvariable und \( a>0 \) Zeigen Sie
$$ P(X-\mathbb{E}(X) \geq a) \leq \frac{V(X)}{a^{2}+V(X)} $$
(Hinweis: Hier ist es möglich die Cauchy-Schwarz-Ungleichung zu verwenden!
(2) Es sei \( X \) eine Zufallsvariable mit absolut stetiger Verteilung \( \mathbb{P}_{X} \) und \( \mathbb{E}(|X|)< \) oo und \( \mathbb{E}\left(\mathrm{e}^{X}\right)<\infty \). Zeigen Sie
$$ \mathbb{E}(X) \leq \frac{\mathbb{E}\left(X \mathrm{e}^{X}\right)}{\mathbb{E}\left(\mathrm{e}^{X}\right)} $$

Hinweis: Die Funktion \( x \mapsto x \ln (x) \) und \( x \mapsto \exp (x) \) sind konvex.)

Answer 1

Das ist die Tschebyscheffsche-Cantelli Ungliechung

https://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_von_Cantelli

Comments

Zu b)

Betrachte für zwei unabhängie ZV den Ausdruck $$  (f(X)-f(Y))(g(X)-g(Y)) \ge 0 $$ für nicht fallende Funktionen \( f\) und \( g \) und bilde den Erwartungswert. Dann folgt

$$  \mathbb{E}(f(X)g(X)) \ge \mathbb{E}(f(X)) \mathbb{E}(g(Y)) $$

Setzte \( f(x) = x \) und \( g(x) = e^x \) dann folgt die Behauptung.