Berechne sin(a) und cos(a)

Question

Aufgabe:

Gegeben sind:

cos(a-b) = 1/3 und sin(a-b) < 0

sin(b) = -2/3 und cos(b) > 0

Berechne sin(a) und cos(a)

Problem/Ansatz:

Durch die Additionsformel weiß ich, dass cos(a-b) = cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b) sind, also muss cos(a-b) = cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b = 1/3 sein. Der sin(b) ist ja schon gegeben und den cos(b) kann man ja mit der FFT (sin^2(b) + cos^2(b) = 1) berechen und dieser Beträgt + oder - \( \sqrt{5} \)/3, da cos(b) aber > 0 sein muss, kommt nur + \( \sqrt{5} \)/3 in Frage. Jetzt kann ich alles in cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b) = 1/3 einsetzen, aber wie muss ich dann weitermachen?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

COS(a - b) = 1/3 und SIN(a - b) < 0 → SIN(a - b) = -√(1 - COS(a - b)^2) = -2/3·√2

SIN(b) = -2/3 und COS(b) > 0 → COS(b) = √(1 - SIN(b)^2) = √5/3

COS(a - b) = COS(a)·COS(b) + SIN(a)·SIN(b) = 1/3
COS(a - b) = COS(a)·(√5/3) + SIN(a)·(-2/3) = 1/3

SIN(a - b) = SIN(a)·COS(b) - COS(a)·SIN(b) = -2/3·√2
SIN(a - b) = SIN(a)·(√5/3) - COS(a)·(-2/3) = -2/3·√2

√5/3·c - 2/3·s = 1/3
2/3·c + √5/3·s = - 2/3·√2 → c = (√5 - 4·√2)/9 = -0.3800873635 ; s = - 2·(√10 + 1)/9 = -0.9249505911

Comments

Ich denke da stimmt was nicht. Siehe meine Lösung unten. Genau die von Dir angegebene Lösung entfällt und nur \( -\frac{2}{9} ( 1 - \sqrt{10} ) \) bleibt übrig.

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Erstmal vielen Dank. Wir haben die Übung heute im Unterricht gemeinsam bearbeitet und sind auf sin(a) = -\( \frac{2\sqrt{10}+2}{9} \) gekommen.

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Ja. Wie du siehst kam ich oben auf

s = - 2·(√10 + 1)/9

s = - (2·√10 + 2)/9

Das sieht also gut aus was ihr in der Schule gemacht habt.

Answer 2

Hallo

du hast jetzt ne Gleichung mit cos(a) und sin (a) als Unbekannte, setz eines von beiden =x das andere √(1-x^2) und hast  nach quadrieren eine quadratische Gl für x

Gruß lul

Comments

Danke für die schnelle Antwort, woher kommen die √(1-x^2)?

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weil, wenn das ein Integral ist, dass haben wir noch nicht gemacht. Gibt es noch eine andere Lösung?

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Trigonometrischer Pythagoras

SIN(x)^2 + COS(x)^2 = 1

Answer 3

Ich verspreche, es wird schrecklich.

Gegeben sind:

cos(a-b) = 1/3 und sin(a-b) < 0

sin(b) = -2/3 und cos(b) > 0 

b= -41,8103° COS(b) =0,745356

360°>a-b>180°

218,1897°>a>138,1897°

COS(a)*0,745356- 0,6666667sin(a)= 1/3

COS(a)*2,236068-sin(a)*2=1

COS(a)= (1-2*sin(a))/ 2,236068

Und jetzt passiert ein kleines Wunder

(Cos(a))^2=( 4 (sin(a))^2-4 sin(a) +1)/5

(Cos(a))^2 + (sin(a))^2= 1

4 (sin(a))^2-4 sin(a) +1 + 5(sin(a))^2=5

sin(a))^2-4/9 sin(a) -4/9=0

Sin(a)=2/9+1/9wurzel( 40)=0,9249506

a= 67,6609° oder 112,3391°

kann beides verworfen werden

Sin(a)=2/9-1/9wurzel( 40)= - 0,4805061

a = - 28,71846 verwerfen wir auch

Übrig bleibt

a= -151,20154° = 208,79846°

Die Ungefährzeichen , habe ich durch Gleichheitszeichen ersetzt, bitte nicht böse sein.

Bevor mein Akku ganz aufgibt, schicke ich es ohne korrektur los.

Comments

Mach es nicht so schwer. Die Aufgabe war:

Berechne sin(a) und cos(a)

und nicht berechne a.

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Stimmt, doch cos(a) bekommt yodabosten jetzt doch sicher selber hin, wie gesagt, mein Akku ging zur Neige.

Answer 4

Du hast die Gleichung $$ \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta) = \frac{1}{3}  $$ Mit den bekannten Werten für \( \sin(\beta) \) und\( \cos\beta \) bekommt man die Gleichung

$$ \frac{  \sqrt{5} }{3} \cos(\alpha) - \frac{2}{3} \sin(\alpha) = \frac{1}{3}  $$

Wenn man \( \cos(\alpha) = \sqrt{ 1 - \sin^2(\alpha)} \) schreibt und \( x = \sin(\alpha) \) setzt, bekommt man

$$ \sqrt{5} \sqrt{ 1 - x^2 } = 2 x + 1 $$ Das ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

$$ x_{1,2} = -\frac{2}{9} ( 1 \pm \sqrt{10} )  $$ Da der Term unter der Wurzel positiv sein muss, muss gelten \(  |x| <1 \) und da die linke Seite positiv ist, muss auch gelten \( 2x +1 > 0 \) also \( x> -\frac{1}{2} \)

Damit entfällt die Lösung \( x = -\frac{2}{9}(1+\sqrt{10}) = -0.925 \) und es bleibt nur noch die Lösung \( x = -\frac{2}{9}(1-\sqrt{10}) =0.481 \)

Also gilt \( \sin(\alpha) = 0.481 \) Der Rest ergibt sich aus

$$ \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} $$

Comments

Also gilt sin(α)=0.481

Warum verhunzt du einen bis dahin schönen Lösungsweg?

Richtig ist sin α = \(-\frac{2}{9}(1-\sqrt{10})\).

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Versteh nicht was Du meinst?

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Würdest du auch in einer Aufgabe als "Ergebnis" 1,414 angeben, wenn das Ergebnis in Wirklichkeit \( \sqrt{2} \) wäre?

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OK, ich hätte \( \approx \) schreiben können. Ist aber wohl nur eine Kleinigkeit.