Wo ist mein Fehler? Steckbriefaufgaben...

Question

Liebe Lounge,

die Funktion f(x)=1/3x^3-2x^2 hat an der Stelle x=2 einen WP, bei x=0 und x=4 jeweils ein Extremum und der Punkt A(0 I 0) liegt auf f.

Folglich muss gelten: f''(2)=0, f'(0)=0, f'(4)=0 und f(0)=0.

Will man nun aber umgekehrt eine Funktion finden, welche die obigen Eigenschaften hat mithilfe einer Steckbriefaufgabe, so entsteht ein Problem.

Aus f(0)=0 folgt d=0.  Aus f'(0)=0 folgt c=0.

Aus f'(4)=0 folgt: 48a+8b=0

Aus f''(2)=0 folgt 12a+2b=0

Aus diesen beiden Gleichungen folgt aber auch, dass a=0 und b=0...

Das würde suggerieren, dass das LGS nur durch die triviale Lösung a=b=c=d=0 gelöst wird. Die Funktion f zeigt aber, dass es auch eine andere Lösung geben müsste...

Wo ist mein Fehler?

Vielen Dank!

Answer 1

Aus

f'(4)=0 folgt: 48a+8b=0
f''(2)=0 folgt 12a+2b=0

Die beiden Gleichungen sind linear abhängig. Die obere ist genau das 4-fache der Unteren Gleichung. D.h. ist a = 1 und b = -6 sind beide Gleichungen erfüllt.

Comments

Sprich die gegebenen Informationen werden durch unendlich viele Funktionen erfüllt.

Diese müssen lediglich die folgende Eingeschalt erfüllen:

d=0, c=0 UND:

b=-6a

?

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Genau. Und dann schau dir die Funktion y = 1/3·x^3 - 2·x^2 an.

a = 1/3 ; b = -2

Erfüllt eben auch die Gleichung b = -6a. Und ist daher eine von unendlich vielen Lösungen.

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Merci.

Tomaten auf den Augen.