Wer nimmt am Fußballspiel teil?

Question

Aufgabe:

Wer nimmt am Spiel teil? (D∨E)∧(A→C)...

Problem/Ansatz:

Ich habe folgende Aussagen, die ich bereits mit Operatoren zusammengefasst habe.

- Von Dieter und Elvis kommt mindestens einer zum Einsatz (D∨E).

- Wenn Andreas spielt, dann auch Chris (A→C).

- Entweder spielt Chris oder Bernd. (B⇔¬C)

- Wenn Elvis spielt, dann auch Dieter und Andreas (E→D∧A)

- Entweder spielen Bernd und Dieter oder beide nicht (B⇔D)

Nun soll ich dies auflösen, weiß aber nicht wie. Habe es schon mit Wahrheitstabellen versucht, habe alle Aussagen mit ∧ zusammengefügt und versucht, es so aufzulösen, einzelne Aussagen mit Gesetzen umgeformt,  aber ich komme einfach nicht weiter. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man so was auflöst? Vielen Dank!

Comments

Ist hier Entweder spielt Chris oder Bernd. (B⇔¬C)
nicht  Entweder spielt Chris nicht oder Bernd spielt.? da beim C vorne ein not¬ ist.

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Ich hatte zuerst (B↔C)∧¬(B↔C) und von einem Tutor wurde das zu (B⇔¬C) verbessert. Eben kam der Nachtrag: ¬(B↔C). Aber danke für's aufmerksam machen:)

Answer 1

Habe es schon mit Wahrheitstabellen versucht,

Warum nicht? Einfach folgende Tabelle ausfüllen. Wenn in der letzten Spalte eine 1 steht, dan kann man in den ersten fünf Spalten sehen wer spielt.

A	B	C	D	E	D∨E	A→C	¬(B↔C)	E→D∧A	B↔D	\(\bigwedge\)
0	0	0	0	0
0	0	0	0	1
0	0	0	1	0
0	0	0	1	1
0	0	1	0	0
0	0	1	0	1
0	0	1	1	0
0	0	1	1	1
0	1	0	0	0
0	1	0	0	1
0	1	0	1	0
0	1	0	1	1
1	1	1	0	0
0	1	1	0	1
0	1	1	1	0
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	0	0	1
1	0	0	1	0
1	0	0	1	1
1	0	1	0	0
1	0	1	0	1
1	0	1	1	0
1	0	1	1	1
1	1	0	0	0
1	1	0	0	1
1	1	0	1	0
1	1	0	1	1
1	1	1	0	0
1	1	1	0	1
1	1	1	1	0
1	1	1	1	1

Comments

Danke für deine umfangreiche Antwort! Ich hatte mich an einer viel kleineren Wahrheitstabelle orientiert, die uns mal als Beispiel gegeben wurde (die war vielleicht halb so groß). Ich glaube, bei der wurde viel rausgekürzt, wenn ich mir sie so ansehe, kein Wunder, dass ich da nicht auf ein klares Ergebnis komme...>.< Am Ende war ich so verwirrt, dass ich keinen Durchblick mehr dabei hatte

Ich werde es jetzt erstmal mit deiner versuchen, auf jeden Fall vielen, vielen lieben Dank für deine Hilfe und deine Mühe!!!

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In der ersten Zeile kommt bei D∨E eine 0 hin. In der letzten Spalte der ersten Zeile steht deshalb auch eine 0 und du bist schon mit der ersten Zeile fertig.

Mit dem gleichen Argument kannst du auch schnell weitere Zeilen ausschließen.

Die Tabelle mag zwar groß sein, lässt sich aber doch recht zügig bearbeiten. Du musst sie ja nicht ganz ausfüllen. Du musst nur für jede Zeile wissen, was in der letzten Spalte steht.

Answer 2

Aloha :)

Ich schreibe gerne \(\cdot\) für \(\land\) und \(+\) für \(\lor\), um mit der Punkt-vor-Strich-Regel viele Klammern zu sparen. Deine Überlegungen sind richtig:

$$(a)\quad D\lor E\;\equiv\; D+E$$$$(b)\quad A\implies C\;\equiv\; \overline A+C$$$$(c)\quad C\oplus B\;\equiv\; \overline B\,C+B\,\overline C$$$$(d)\quad E\implies A\land D\;\equiv\; \overline E+AD$$$$(e)\quad B\Longleftrightarrow D\;\equiv\;BD+\overline B\,\overline D$$

Da alle 5 Bedingungen erfüllt sein müssen, werden sie UND-vernküpft.

$$X=(D+E)(\overline A+C)(\overline BC+B\overline C)(\overline E+AD)(BD+\overline B\,\overline D)$$$Wir bestimmen einige Produkte getrennt voneinander:

$$(D+E)(\overline E+AD)=D\overline E+\underbrace{E\,\overline E}_{=0}+\underbrace{ADD}_{=AD}+EAD=D\overline E+AD\underbrace{(1+E)}_{=1}=D(A+\overline E)$$$$(\overline BC+B\overline C)(BD+\overline B\,\overline D)=\underbrace{\overline BCBD}_{=0}+\underbrace{B\overline CBD}_{=B\overline CD}+\underbrace{\overline BC\overline B\,\overline D}_{=\overline BC\overline D}+\underbrace{B\overline C\,\overline B\,\overline D}_{=0}=B\overline CD+\overline BC\overline D$$Das liefert folgenden Zwischenstand:

$$X=D(A+\overline E)(\overline A+C)(B\overline CD+\overline BC\overline D)=(A+\overline E)(\overline A+C)D(B\overline CD+\overline BC\overline D)$$$$\phantom{X}=(\underbrace{A\overline A}_{=0}+\overline E\,\overline A+AC+\overline EC)(\underbrace{B\overline CDD}_{=B\overline CD}+\underbrace{\overline BC\overline DD}_{=0})$$$$\phantom{X}=\overline E\,\overline AB\overline CD+\underbrace{ACB\overline CD}_{=0}+\underbrace{\overline ECB\overline CD}_{=0}=\boxed{\overline AB\overline CD\overline E}$$\(B\) und \(D\) spielen, \(A\), \(C\) und \(E\) spielen nicht.

Comments

Mit der Schreibweise haben wir bisher nicht gerechnet (• statt ∧, etc) , aber ich verstehe bei dir was gemeint ist:)

Bisher haben wir auch nur mit höchstens mit 3 Aussagenvariablen gerechnet, hab mich von 5 ziemlich erschlagen gefühlt und wusste gar nicht wo ich anfangen soll... und einzeln sind wir die nie angegangen, sondern immer nur die Gesamtaussage betrachtet und umgeformt.

Auf die Weise habe ich es vorhin etwas weniger mathematisch versucht und sehe durch deine Rechnung, dass ich mit A→C wohl einen Fehler gemacht habe und dann war natürlich am Ende das Ergebnis falsch.

Hatte schon nach der Berechnung von (D+E)(E+AD) versucht, durch A→C auf die vierte Aussage B⇔¬C zu schließen, aber erst die anderen Aussagen zu verknüpfen, ist natürlich viel schlauer.

Vielen, vielen Dank für deine Hilfe und dafür, dass du dir so viel Mühe gemacht hast, dass so ausführlich aufzuschreiben! Das hilft mir wirklich so sehr

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Das ist einfach nur Übungssache. Wenn du mit Mal und Plus rechnest, kannst du das Distributivgesetz wie gewohnt anwenden. Das erleichtert die Sache sehr und ist viel übersichtlicher.