vektoren mit komponeneten

Question

hallöchen,

könntet ihr mir vielleicht erklären, wie man von Vektoren die Komponenten bestimmen kann also Vektoren v1 und v2 mit 4 zahlen

Comments

Wie lautet die genaue Aufgabe? So allgemein kann man es nicht beantworten.

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also die Aufgabenstellung sagt, dass ich für

v1=(1140) und v2=(-10-31)

einen w Vektor angeben soll der auf v1 und v2 senkrecht steht aber keine null als Eintrag erhält

und als Endergebnis soll man eine Komponente des Vektors w mit 4 eintragen aufschreiben

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Hier ist eine ähnliche Aufgabe, nur die Zahlen sind anders:

https://www.mathelounge.de/782553/geben-einen-vektor-senkrecht-steht-keine-null-eintrag-enthalt

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\( \vec{v_1} \) =\( \begin{pmatrix} 1\\1\\4\\0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{v_2} \)  =\( \begin{pmatrix} -1\\0\\-3\\1 \end{pmatrix} \). Dann sind 1, 1, 4 und 0 die Komponenten des ersten Vektors und -1, 0, -3  die Komponenten des zweiten Vektors. Da wird nichts bestimmt, sondern nur abgelesen.

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also muss ich nichts in die Formel v1*w=0 einsetzen?

woher kann man das genau ablesen?

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Roland, du hast die Aufgabe nicht richtig gelesen:

einen w Vektor angeben soll der auf v1 und v2 senkrecht steht aber keine null als Eintrag erhält

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ich habe es versucht und versucht und komme irgendwie nicht drauf

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brauche echt Hilfe

Answer 1

Hallo,

brauche echt Hilfe

das glaub' ich. Gesucht ist ein Vektor \(w\) für den gilt:$$v_1 \cdot w = 0, \quad v_2 \cdot w = 0$$Dies ist die Bedingung, damit \(w\) auf \(v_1\) und \(v_2\) senkrecht steht. Ist$$w = \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{pmatrix}$$ ergibt sich folgendes Gleichungssystem:$$\begin{aligned} x_1 +x_2 + 4x_3 + 0x_4 &= 0 \\ -x_1 + 0x_2 - 3x_3 + x_4 &= 0 \end{aligned}$$Das kann man mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus vereinfachen:$$\begin{array}{cccc|l}1& 1& 4& 0& (1)\\ -1& 0& -3& 1& (2)\end{array} \\ \begin{array}{cccc|l}1& 0& 3& -1& (3) = (1) -(4)\\ 0& 1& 1& 1& (4) = (1) +(2)\end{array}$$Das LGS ist zweifach unterbestimmt. Folglich kann man zwei Unbekannte frei wählen. Ich setze \(x_3=r\) und \(x_4=s\). Dann ist die Lösungsmenge$$w(r,s) = \begin{pmatrix}-3\\ -1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}r + \begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\\ 1\end{pmatrix} s$$Wenn Du irgendeinen Vektor benötigst, der kein 0 enthält, so kannst Du schlicht \(r=1\) und \(s=1\) wählen und erhältst:$$w = \begin{pmatrix}-2\\ -2\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$

Answer 2

0 =\( \begin{pmatrix} 1\\1\\4\\0 \end{pmatrix} \) ·\begin{pmatrix} -2\\-2\\1\\1 \end{pmatrix} und 0  =\( \begin{pmatrix} -1\\0\\-3\\1 \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\4 \end{pmatrix} \).

Answer 3

$$\begin{pmatrix} 1 & 1  &4&0\\-1 & 0 &-3&1\end{pmatrix}  * \begin{pmatrix}  w_1 \\ w_2\\ w_3\\w_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$\begin{pmatrix} 1 & 1  &4&0\\0& 1&1&1\end{pmatrix}  * \begin{pmatrix}  w_1 \\ w_2\\ w_3\\w_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$\begin{pmatrix}  w_1 \\ w_2\\ w_3\\w_4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}  -(a+4b)\\ a\\ b\\-(a+b)\end{pmatrix} $$

$$a ; b ≠ 0$$

Zum Beispiel

$$\begin{pmatrix}  w_1 \\ w_2\\ w_3\\w_4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}  -5\\ 1\\ 1\\-2\end{pmatrix} $$

Aber auch

$$\begin{pmatrix}  w_1 \\ w_2\\ w_3\\w_4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}  -8\\ 4\\ 1\\-5\end{pmatrix} $$

Damit ist auch eine Komponente gleich 4