Hallo :-)
Ich habe versucht, die xi so anzuordnen, dass x1,..., xn positiv und x(n+1),..., xn negativ sind, um die Summe in zwei Teilsummen zu zerlegen und dort den Betrag einzusetzen, bin aber auch nicht weitergekommen.
Das geht vom Grundgedanken schonmal die richtige Richtung! Du brauchst aber eine Menge von Vektoren \(p_1,...,p_k\in \mathbb{R}^n\), sodass \(O=\operatorname{konv}(p_1,...,p_k)\) gilt.
Dafür bieten sich besonders hübsch folgende Vektoren an:
\(v_1,...,v_n,v_{n+1},...,v_{2n}:=e_1,...,e_n,-e_1,...,-e_n\in \mathbb{R}^n\).
Also die Standardbasisvektoren und mit ihnen ihre Inversen. Dann gilt ja schonmal für alle \(i=1,...,2n\) auch \(v_i\in O\), sodass die Teilmengenbeziehung \(\supseteq\) gezeigt ist.
Nun zu \(\subseteq\). Sei also \(x\in O\) beliebig, d.h. es gilt \(|x_1|+...+|x_n|\leq 1\).
Definiere nun zwei Indexmengen
\(\mathcal{R}:=\{r\in \{1,...,n\}:\ x_r\geq 0\},\quad \mathcal{S}:=\{s\in \{1,...,n\}:\ x_s<0\}\).
Dann gilt ja automatisch auch \(\mathcal{R} \cup \mathcal{S}=\{1,...,n\}\) und \(\mathcal{R}\cap \mathcal{S}=\{\}\).
Definiere weiter eine Indexabbildung \(i: \ \mathbb{N}\to \{1,...,n,n+1,...,2n\}\), sodass
\(i(r)=r,\ \forall r\in \mathcal{R}\) und \(i(\mathcal{S})\subseteq \{n+1,...,2n\}\) gilt. Das ist nur für die passende Nummerierung der definierten Vektoren \(v_i\).
Dann gilt weiter
\(x=\sum\limits_{r\in \mathcal{R}} \underbrace{x_r}_{=:\lambda_i(r)}\cdot v_{i(r)}+\sum\limits_{s\in \mathcal{S}} \underbrace{|x_s|}_{=:\lambda_{i(s)}}\cdot v_{i(s)}\),
sodass zunächst nur
\(\sum\limits_{k\in (\mathcal{R} \cup \mathcal{S})} \lambda_{i(k)}\leq 1\) gilt.
Frage an dich: Wie könntest du nun hier Gleichheit erzwingen (insbesondere für \(|x_1|+...+|x_n|<1\))?
