Lineare Regression Funktion erstellen

Question

Aufgabe:

Lineare Regression:

Ich habe eine Wertetabelle gegeben und so damit die Funktion y=m*\( \sqrt{x} \)+b erstellen.

Leider weiß ich nur wie man das macht wenn gesucht ist nach y=m*x+b

Problem/Ansatz:

X bleibt ja so oder so x. Ändert das jetzt etwas beim errechnen? Also es wird ja eh nur m und b errechnet.

Comments

Hallo Lapplöffel,
durch Wurzel(x) gibt es aber keine gerade
Funktion mehr ( linear ) mehr.

Du kannst einmal die Wertetabelle zusenden
dann beschäftige ich mich damit.

mfg Georg

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Hallo,

Du brauchst nur mit den Werte \((\sqrt{x_i},y_i)\) statt \((x_i,y_i)\) rechnen.

Gruß Mathhilf

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Ja stimmt :D

Die schnellere Variante...

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OK dann Versuche ich die Aufgabe jetzt Mal zu lösen. Hier die Werte Tabelle vielleicht kann ich ja dann mein Ergebnis abgleichen.

Lineare Regression (ja laut Aufgabe linear)

y(t) =a\( \sqrt{t} \)+y0

t: 0,25/2,25/4/6,25/9/12,25

y: 3,5/6,5/7,5/9/10,5/12

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... vielleicht kann ich ja dann mein Ergebnis abgleichen.

Das Ergebnis ist \(y(t) = 2,1+ 2,8\sqrt t\)

~plot~ 2.1+sqrt(x)*2.8;{0.25|3.5};{2.25|6.5};{4|7.5};{6.25|9};{9|10.5};{12.25|12};[[-2|16|-0.2|13]] ~plot~

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Ich habe nochmal eine Frage mir ist es doch noch nicht ganz klar.

Ich habe ja xi und yi gegeben und muss aus denen ja xi-Durchschnitt (x) und (xi-Durchschnitt x)^2 und (xi-Durchschnitt (x))*(yi-Durchschnitt (y)) bilden, das ganze mit y ja auch noch ... Muss ich jetzt von x die Wurzel nehmen und dann quasi alles mit der Wurzel machen? Also \( \sqrt{xi} \)- (Durchschnitt\( \sqrt{x} \) etc.?

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Muss ich jetzt von x die Wurzel nehmen und dann quasi alles mit der Wurzel machen? Also \( \sqrt{x_i} \)

Ja genauso. Du berechnest alle \(\sqrt{x_i}\) und anschließend gehst Du so vor wie bei einer 'normalen' linearen Reggression.

Answer 1

Vielleicht liest Du DIr das
https://www.geogebra.org/m/YjjE9nwR
mal durch. Betrifft Regressionen über Polynome, also auch lineare Funktionen/Geraden).

Du hast aber eine Wurzel in der Funktion, da passen Deine Überlegungen vermutlich nicht rein. Mit Deiner Funktion \(\small f(x) \, :=  \, a_1 \; \sqrt{x} + a_0\) geht das über die Normalengleichung, wie hallo gezeigt hat. Das führt auf eine Matrixgleichung

(√x_i 1) (a_i) = yi

A (a_i) = b

\(\small \left(\begin{array}{rr}\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{2}&1\\2&1\\\frac{5}{2}&1\\3&1\\\frac{7}{2}&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}a_1\\a_0\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}\frac{7}{2}\\\frac{13}{2}\\\frac{15}{2}\\9\\\frac{21}{2}\\12\\\end{array}\right)   \)

Normiert

\(\small A^{T}A \, \left(\begin{array}{r}a_1\\a_0\\\end{array}\right) = A^{T} b \\ \left(\begin{array}{rr}68&26\\26&12\\\end{array}\right) \, \left(\begin{array}{r}a_1\\a_0\\\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}245\\98\\\end{array}\right)\)

===> a₁, a₀ die Koeffizienten

Comments

Leider verstehe ich das mit der Matrix nicht ganz. Ich habe das glaube ich mit einer anderen Methode gelernt? Aktuell habe ich folgendes und kme nicht weiter:

ti	yi	ti-Dt	yi-Dy	(ti-Dt)^2	(yi-Dy)^2	(ti-Dt)*(yi-Dy)
0,25	3,5	-5,1	-4,7	26,2	21,8	23,9
2,25	6,5	-3,4	-1,7	11,7	2,8	5,7
4	7,5	-1,7	-0,7	2,8	0,4	1,1
6,25	9	0,6	0,8	0,3	0,7	0,5
9	10,5	3,3	2,3	11,1	5,4	7,8
12,25	12	6,6	3,8	43,3	14,7	25,2

Durchschnitt (D) (t) 5,7

Durchschnitt (D) (y) 8,2

Summe 1(Stt)= 15,9

Summe 2(Syy)= 7,6

Summe 3(Sty)= 10,7

m= (Sty)/(Stt) [Es ist ja nach y(t) gefragt darum die Regressionsgerade/Steigung für y?]

m= -5,205? Weiter komme ich leider nicht. Tut mir leid wenn ich mich sehr dumm anstelle

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Wenn Du in meinem Link nachgelesen hast, wird da die Normalengleichung erklärt. Unten auf der Seite steht auch das Verfahren mit den Summen (kommt ohne Mittelwertberechnung aus) - was hauptsächlich für Taschenrechner entwickelt wurde:

Das/Dein Verfahren berechnet eine lineare Regressinosgerade - also so was wie g(x):= m x + b und nicht f(x):= m √ x + b. Ein Vergleich zeigt

auch ein anderes Ergebnis f_g (Gerade) und f_R (Wurzelfunktion)

Wie Du richtig festgestellt hast kommst Du mit Deinem Verfahren nicht weiter, weil es nicht zum Problem passt.

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Ich bin tatsächlich nach langem rumprobieren auf die richtige Lösung gekommen. Danke auf jeden Fall fürs helfen

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Schön, dass es geklappt hat.

Wenn ich die Normalengleichung in Summen auflöse, dann erhalte ich

Die x-Werte müssen nur durch die fx (√x) Werte ersetzt werden?

Answer 2

Hallo :-)

Für die lineare Regresion löst du im Allgemeinen diese (Normalen) - Gleichung:

\(A^T\cdot A\cdot x=A^T\cdot b\),

wobei \(A\) die Koeffizientenmatrix ist und \(b\) der Lösungsvektor. Hier konkret:

\(A=\begin{pmatrix}\sqrt{x_1}&1\\\vdots & \vdots\\\sqrt{x_n}&1 \end{pmatrix}\)

und

\(b=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n \end{pmatrix}\),

wobei \((x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\) die gegebenen Wertepaare sind. Durch Lösen der obigen Normalengleichung wird der (euklidische) Abstand \(\|A\cdot v-b\|_2^2\) minimiert, d.h. \(v\) ist Minimierer vom Abstand \(\|A\cdot v-b\|_2^2\). Und hier gilt konkret \(v=\begin{pmatrix}m\\b \end{pmatrix}\) zu suchen. Und das geschieht durch Lösen der Normalengleichung.