Ist f(x) = ((x^(2))/((x-1)^(2))) injektiv?

Question

Aufgabe:

Ist f(x) = ((x^(2))/((x-1)^(2))) injektiv?

Problem/Ansatz:

Wie kann man diese Aufgabenstellung ohne Gegenbeispiel lösen? Am Computer kann man es in einen Graphikrechner eingeben und ein Gegenbeispiel herausfinden, aber wenn man in der Klausur sitzt und keinen hat wird es schwer...

Ich habe versucht mit f(x₁) = f(x₂) => x₁ = x₂ aber komme auf keinen grünen Zweig...

Comments

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Der Graph:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28%28x%5E%282%29%29%2F%28%28x-1%29%5E%282%29%29%29+

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Zur Beurteilung der Injektivität ist eigentlich die Kenntnis von Definitions- und Wertebereich unerlässlich. Ich gehe hier vom "Maximalfall" aus, dass also \(\mathbf D=\mathbb R^{\ne1}\) und \(\mathbf W=\mathbb R^{\ge0}\) ist.

Wir können zeigen, dass es zwei unterschiedliche Funktionswerte gibt, die z.B. den Wert \(2\) haben:

$$\left.\frac{x^2}{(x-1)^2}=2\quad\right|\cdot(x-1)^2$$$$\left.x^2=2(x-1)^2=2(x^2-2x+1)=2x^2-4x+2\quad\right|-x^2$$$$\left.x^2-4x+2=0\quad\right|\text{\(pq\)-Formel}$$$$x_{1;2}=2\pm\sqrt{4-2}=2\pm\sqrt2$$Es gibt also zwei Argumente, die dasselbe Ziel haben. Daher ist die Funktion nicht injektiv.

Comments

Der Definitionsbereich stimmt schon, aber wie komme ich auf die Lösung wenn ich nicht direkt auf ein Gegenbeispiel komme?

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Die Funktion hat eine Definitionslücke bei \(x=1\) und weist dort eine Unendlichkeitsstelle auf. Da die Funktion immer positiv ist, muss es links und rechts von der Unendlichkeitsstelle gleiche \(y\)-Werte geben. Daher ist klar, dass die Funktion nicht injektiv sein kann. Danach musste das nur noch an einem passenden Beispiel gezeigt werden.

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Der Definitionsbereich stimmt schon, aber wie komme ich auf die Lösung wenn ich nicht direkt auf ein Gegenbeispiel komme?

Man könnte so argumentieren: Die Polstelle x=1 besitzt die Vielfachheit 2, so dass die Funktion an dieser Stelle nicht ihr Vorzeichen wechselt. Eine Funktion mit dieser Eigenschaft (Pol ohne Vorzeichenwechsel) kann nicht injektiv sein.