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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Die Nullstellen berechnest du mit Hilfe der pq-Formel:$$x_{1;2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$$Der Scheitelpunkt liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen:$$x_s=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac p2$$
Wir machen die (a) mal zusammen:$$f(x)=x^2\,\underbrace{-10}_{=p}\cdot x\,\underbrace{+9}_{=q}$$Das \(p\) ist die Zahl vor dem \(x\), hier ist \(p=-10\). Das \(q\) ist die Zahl ohne \(x\), hier ist \(q=9\). Jetzt halbierst du \(p\) und wechselst das Vorzeichen. Du erhältst \(-\frac p2=5\). Damit lautet die pq-Formel:$$x_{1;2}=5\pm\sqrt{5^2-9}=5\pm\sqrt{25-9}=5\pm\sqrt{16}=5\pm4=\left\{\begin{array}{r}1\\9\end{array}\right.$$Die Nullstellen sind also \(x_1=1\) und \(x_2=9\). Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte davon, also bei \(x_s=\frac{1+9}{2}=5\). Die \(y\)-Koordinate vom Scheitelpunkt bekommst du durch Einsetzen:$$f(5)=5^2-10\cdot5+9=-16$$Zusammengefasst: \(N_1(1|0)\), \(N_2(9|0)\), \(S(5|-16)\).
Bei der Aufgabe (b) musst du zuerst \(4\) ausklammern, um die pq-Formel anwenden zu können:$$f(x)=4x^2+12x+5=4\left(x^2+3x+\frac54\right)$$Du bist ja nun schon gut trainiert mit der pq-Formel und siehst sofort, dass \(p=3\) und \(q=\frac54\) ist. Du änderst das vorzeichen von \(p\), halbierst es und erhältst \(-\frac p2=-\frac32\). Damit liefert die pq-Formel als Nullstellen:$$x_{1;2}=-\frac32\pm\sqrt{\frac{3^2}{2^2}-\frac54}=-\frac32\pm\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{5}{4}}=-\frac32\pm\sqrt1=\left\{\begin{array}{r}-\frac52\\[1ex]-\frac12\end{array}\right.$$Der Scheitelpunkt liegt wieder genau in der Mitte:$$x_s=\frac{-\frac12-\frac52}2=-\frac32$$Den \(y\)-Wert für den Scheitelpunkt bekommst du wieder durch Einsetzen: \(f(-\frac32)=-4\).
Zusammengefasst: \(N_1\left(-\frac52|0\right)\), \(N_2\left(-\frac12|0\right)\), \(S\left(-\frac32|-4\right)\).
Kriegst du die beiden anderen Augaben jetzt alleine hin? Zur Kontrolle:
$$\text{c)}\quad N_1\left(-\frac54\bigg|0\right)\quad;\quad N_2\left(\frac34\bigg|0\right)\quad;\quad S\left(-\frac14\bigg|-1\right)$$
$$\text{d)}\quad N_1\left(-12|0\right)\quad;\quad N_2\left(-6|0\right)\quad;\quad S\left(-9\bigg|-\frac92\right)$$
