Wieso ist diese Funktion nicht stetig?

Question

Aufgabe:

Warum ist die Funktion

\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto\left\{\begin{array}{} 4 x-3 && x<-100 \\ & \text {für} & \\ 4 x-3 && x>-100 \end{array}\right. \)
nicht stetig?

Problem/Ansatz:

Wie kann man zeigen, dass die Funktion nicht stetig ist und woran erkennt man hier die Unstetigkeit?

Comments

Das, was da steht, ist keine Funktion, da f(-100) nicht definiert wird.

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Diese Funktions ist stückweise definiert.

In Definitionslücken sind Funktionen nicht stetig.

Kommt da vielleicht noch eine Teilfrage mit "stetig fortsetzbar" oder so?

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Leider ist als Definitionsbereich als ganz \(\mathbb{R}\) angegeben.

Hätte dort \(f:\; \mathbb{R}\backslash \{-100\}\rightarrow \mathbb{R}\)

gestanden, dann wäre es eine Funktion. So ist es bestenfalls eine

Relation \(\subset \mathbb{R}\times\mathbb{R}\), da sie nicht linkstotal ist.

Mit dem Definitionsbereich \(\mathbb{R}\backslash \{-100\}\) ist dann natürlich

die Frage nach der stetigen Fortsetzung sinnvoll.

So, wie es da steht, ist die Frage nach der Stetigkeit unsinnig;

es handelt sich um einen Kategorienfehler.

Answer 1

Die Stelle x = -100 ist nicht definiert. Lücke im Definitionsbereich.

Answer 2

Aloha :)

Bei \(x=-100\) hat sie keinen Funktionswert. Hier musst du beim Zeichnen also den Stift kurz absetzen ;)

Comments

Es handelt sich hier um eine Frage wie

"Hat der augenblickliche König von Frankreich eine Glatze?"

Beim Zeichnen der stetigen Funktion

\(g:(-\infty, -100)\cup(-100,\infty)\rightarrow \mathbb{R},\; x\mapsto 4x-3\)

muss man auch den Stift absetzen ;-)