Polynomfaktorisierung in C und R

Question

Aufgabe

Text erkannt:

\( p(x)=x^{6}-x^{5}-x^{2}+x \)

Problem/Ansatz:

Ich soll die Polynomfaktorisierung in R durch schrittweises Raten der Nullstellen bestimmen -> kann mir jemand weiterhelfen da ich nicht weiss wie ich anfangen soll. Ausserdem soll ich das Polynomfaktorisierung in C bestimmen

Answer 1

\( p(x)=x^{6}-x^{5}-x^{2}+x \) Erst mal x ausklammern

\( =x \cdot (x^{5}-x^{4}-x+1) \)  Dann x=1 raten.

Polynomdivision liefert dann

\( =x \cdot (x-1)  \cdot (x^{4}-1) \)

3. binomi. Formel

\( =x \cdot (x-1)  \cdot (x^{2}-1)  \cdot (x^{2}+1) \)   

nochmal

\( =x \cdot (x-1)  \cdot (x+1)  \cdot (x-1)  \cdot (x^{2}+1) \) 

\( =x \cdot (x-1)^2  \cdot (x+1)    \cdot (x^{2}+1) \)

In C lässt es sich fortsetzen zu

\( =x \cdot (x-1)^2  \cdot (x+1)    \cdot (x+i)    \cdot (x-i) \)

Comments

Wie bist du auf die Nullstelle x = 1 gekommen ?, weil wenn man 1 für x einsetzt kommt nicht 0 heraus

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Eigentlich sollte doch -1 eine Nullstelle sein, wenn man dies in die Gleichung einsetzt

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"Wie bist du auf die Nullstelle x = 1 gekommen ?, weil wenn man 1 für x einsetzt kommt nicht 0 heraus"

Komisch, bei mir schon!

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^{Achso ja, wenn man x ausgeklammert hat, ich bin aber einfach von der Anfangsgleichung ausgegangen}

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Bei der Ausgangsgleichung kommt an der Stelle x=1 doch auch

0 heraus.

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Ah stimmt, war einfach bisschen verwirrt

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Allerdings verstehe ich immer noch nicht wie man dann x⋅(x^5-x^4-x+1) die Polynomdivision anwenden soll ?

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Wenn \(x^5-x^4-x+1\) die 1 als Nullstelle besitzt, muss dieses Polynom

durch \((x-Nullstelle)=(x-1)\) teilbar sein, also teile man es ...

So bekommt man \(x^4-1\) als Quotienten.

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Wie kommt man auf die Polynomfaktorisierung in C?

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3. binomi.Formel