Aufgabe zur Umordnung von Reihen

Question

Text erkannt:

Es sei \( a_{n}:=\frac{(-1)^{n+1}}{n} \) für \( n \in \mathbb{N} . \) Weiter sei \( \sigma: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) definiert durch \( \sigma(3 k-2):=2 k-1, \quad \sigma(3 k-1):=4 k-2, \quad \sigma(3 k):=4 k \quad \) für \( k \in \mathbb{N} . \)
Wir setzen \( b_{k}:=a_{\sigma(k)} \) für \( k \in \mathbb{N} . \) Zeigen Sie:
(a) Die Reihe \( \sum \limits_{k \geq 1} b_{k} \) ist eine Umordnung der Reihe \( \sum \limits_{k \geq 1} a_{k} \).
(b) Für \( k \in \mathbb{N} \) gilt
\( b_{3 k-2}+b_{3 k-1}+b_{3 k}=\frac{1}{2}\left(a_{2 k-1}+a_{2 k}\right) . \)
(c) Die Reihe \( \sum \limits_{k \geq 1} b_{k} \) konvergiert und es gilt \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} b_{k}=\frac{1}{2} \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \).

Ehrlich gesagt ist das leider nicht so mein Thema ich verstehe es nicht sehr gut und versuche mich mit Übungen vertrauter mit der Materie zu machen. Doch leider komme ich bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter und daher dachte ich versuche ich es mal hier. Vielleicht kann ja jemand die Aufgaben lösen. Dankeschön.

Answer 1

Hallo,

für a) ist nach Definition zu zeigen, dass \(\sigma\) eine Bijektion ist. Dazu sein \(m \in \mathbb{N}\), wir prüfen, wieviele j es gibt mit \(\sigma(j)=m\):

Falls m ungerade ist, also m=2k-1, dann ist eindeutig j=3k-2

Falls m gerade ist und außerdem durch 4 teilbar ist, also m=4k, dann ist eindeutig j=3k.

Falls m gerade ist und nicht durch 4 teilbar ist, also m=2(2k-1)=4k-2, dann ist eindeutig j=3k-1.

Also gibt es für jedes \(m \in \mathbb{N}\) eindeutig ein Urbild j unter \(\sigma\).

Bemerkung: Die Umordnung der Reihe besteht darin, immer ein Element mit ungeradem Indes zu addieren und dann 2 mit geradem Index ...

b) lässt sich durch direktes Nachrechnen erledigen.

Zu c): Es gilt:

$$\sum_{j=1}^{\infty}a_j=\sum_{k=1}^{\infty}(a_{2k-1}+a_{2k}) $$

Denn in einer konvergenten Reihe kann man beliebig Klammern setzen. Wegen b) folgt nun

$$\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}(a_{2k-1}+a_{2k}) =\sum_{k=1}^{\infty}(b_{3k-2}+b_{3k-1}+b_{3k})=\sum_{j=1}^{\infty}b_j$$

Für die letzte Gleichung werden in einer konvergenten Reihe Klammern weggelassen; das ist erlaubt, weil \(b_j \to 0\).

Gruß Mathhilf

Comments

Wie kommt man darauf, dass \(\sum_{j=1}^{\infty}a_j=\sum_{k=1}^{\infty}(a_{2k-1}+a_{2k}) \) gilt? Würde das auch für n als obere Grenze  gelten oder müsste man z.B. 2n machen?

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Auf der rechten Seite werden Summanden mit ungeraden Indizes, also 2k-1, und Elemente mit geraden Indizes separat notiert, aber immer noch in der richtigen Reihenfolge. Je 2 aufeinanderfolgende werden geklammert.

Wenn man rechts bis k=n summiert, muss man links bis 2n summieren.

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und wenn man links bis n summiert, muss man dann rechts bis 1/2 n summieren?

Und kann man diese Zusammenfassung der Summanden, die schon Sinn macht, einfach übernehmen oder muss man das irgendwie beweisen?

und wenn man zeigen soll, dass \(\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}(a_{2k-1}+a_{2k}) =\sum_{k=1}^{\infty}(b_{3k-2}+b_{3k-1}+b_{3k})=\sum_{j=1}^{\infty}b_j\) konvergiert, kann man dann sich einfach was davon aussuchen?

Danke für die Hilfe!

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Wenn man links bis n summiert, muss man Fallunterscheidung machen, ob n gerade ist oder nicht.

Der Beweis der Konvergenzaussagen hat schon eine logische Reihenfolge:

1. Die Reihe über die \(a_n)\) konvergiert, weil das LeibnizKriteriu offenbar greift.

2. Aus dieser Konvergenz kann man durch Klammern die Konvergenz der Reihe über die \(0.5(a_{2k-1}+a_{2k})\) schließen. Das Setzten von Klammern (ohne Änderung der Reihenfolge) ist bei konvergenten Reihen erlaubt; es handelt sich nur um den Übergang zu einer Teilfolge der Folge der Partialsummen.

3. Aufgrund der Berechnung in b) ist das identisch mit der Reihe

$$\sum_{k=1}^{\infty}(b_{3k-2}+b_{3k-1}+b_{3k})$$

die also konvergiert.

4. Schließlich folgt aus der Reihenkonvergenz in dieser Form mit Klammern auch die Konvergenz der Reihe ohne Klammern, weil \(b_j \to 0\).

Gruß Mathhilf