Lösen Sie die Integralgleichung

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die Gleichung \( \int\limits_{-x}^{x} \) (e^-t + e^t) dt = 2

Comments

Wo genau ist denn das Problem?

Du musst einmal die Terme e^{-t} und e^t integrieren. Dann setzt du die Grenzen

-x und x ein und löst dies nach x auf.

Answer 1

Aloha :)

Wir bestimmen zuerst das Integral:$$\int\limits_{-x}^x\left(e^{-t}+e^t\right)dt=\left[-e^{-t}+e^t\right]_{-x}^x=(e^x-e^{-x})-(e^{-x}-e^x)=2(e^x-e^{-x})$$Das Integral soll \(=2\) sein, das heißt:$$\left.2(e^x-e^{-x})=2\quad\right|\colon2$$$$\left.e^x-e^{-x}=1\quad\right|-1$$$$\left.e^x-1-e^{-x}=0\quad\right|\cdot e^x$$$$\left.(e^x)^2-e^x-1=0\quad\right|+\frac54$$$$\left.(e^x)^2-e^x+\frac14=\frac54\quad\right|\text{2-te binomische Formel}$$$$\left.\left(e^x-\frac12\right)^2=\frac54\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.e^x-\frac12=\pm\frac{\sqrt5}{2}\quad\right|+\frac12$$$$\left.e^x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}\quad\right.$$Da \(e^x>0\) für alle \(x\in\mathbb R\) kommt nur das Pluszeichen in Betracht, sodass:$$x=\ln\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)$$

Comments

x = sinh^(-1) 0,5  für alle die noch cosh x integrieren können.

---

Toll, dass du das weißt.

Nur leider hilft das Klemens nicht weiter.

---

Nur leider hilft das Klemens nicht weiter.

Warum nicht ?

---

Dann hätte er selbst gesehen, dass man die Gleichung durch \(2\) dividieren kann und dann als Integrand den \(\cosh(x)\) erhält.

---

Merkst du, dass dasselbe Argument auf deine Lösung angewandt werden kann ?

---

Nein, meine Lösung kommt völlig ohne Wissen über \(\sinh(x)\) oder \(\cosh(x)\) aus.

---

Du hast das Argument nicht richtig "übersetzt". Es besagt dann, dass deine Lösung Klemens nicht weiterhilft, weil er "sonst selbst gesehen hätte, dass man die beiden Eponentialfunktionen integrieren muss".

Schade, dass das Forum nicht darauf ausgelegt ist, den Horizont der Fragesteller zu erweitern sondern nur darauf, ihnen vorzeigbare Hausaufgaben-Lösungen zu liefern.