Wie kommt man auf diesen Reihenwert?

Question

Aufgabe:

Reihenwert bestimmen

\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=0}^{\infty}(2 \cdot \sqrt{k}-4 \cdot \sqrt{k+1}+2 \cdot \sqrt{k+2}) &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}-2 \cdot(1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}) \\ &=-2-2 \cdot \lim \limits_{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}) \\ &=-2-2 \cdot \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}) \cdot(\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2})} \\ &=-2-2 \cdot \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{-1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2})} \\ &=-2-2 \cdot 0=-2 . \end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe verstehe ich die die erste Zeile nicht .Wie kommt man hier auf -2(1+\( \sqrt{n+1} \)-\( \sqrt{n+2} \) ) ?

Comments

Sieht nach zwei Teleskopsummen aus.

Answer 1

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(2 \cdot \sqrt{k}-4 \cdot \sqrt{k+1}+2 \cdot \sqrt{k+2}) \)

\( = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=0}^{n}(2 \cdot \sqrt{k}-4 \cdot \sqrt{k+1}+2 \cdot \sqrt{k+2}) \)

Und jetzt sieh dir die Summe an , die beginnt so (für n=3)

\( (2 \cdot \sqrt{0}-4 \cdot \sqrt{1}+2 \cdot \sqrt{2}) + (2 \cdot \sqrt{1}-4 \cdot \sqrt{2}+2 \cdot \sqrt{3}) + (2 \cdot \sqrt{2}-4 \cdot \sqrt{3}+2 \cdot \sqrt{4}) + (2 \cdot \sqrt{3}-4 \cdot \sqrt{4}+2 \cdot \sqrt{5}) \)   

Da hebt sich einiges weg:

\( =2 \cdot \sqrt{0}-2 \cdot \sqrt{1}+0 \cdot  \sqrt{2} +0 \cdot \sqrt{3} +0 \cdot \sqrt{3}-2 \cdot \sqrt{4}  +2 \cdot \sqrt{5}  \)

\( =-2 ( \sqrt{1}+0 \cdot \sqrt{2} +0 \cdot \sqrt{3} +0 \cdot \sqrt{3}+ \sqrt{4}  - \sqrt{5} ) \)

\( =-2 ( \sqrt{1} + \sqrt{4}  -\sqrt{5} ) \)

Und das ist die Formel für n=3 .

Answer 2

$$s_n=2\cdot \sum_{k=0}^n (\sqrt{k}-2\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2})=\\=2(\sum_{k=0}^n(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})+\sum_{k=0}^n(\sqrt{k+2}-\sqrt{k+1}))=\\=2(\sum_{k=0}^n(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})+\sum_{k=1}^{n+1}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}))=\\=2(-1+\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})=\\=2(-1+\frac{(n+2)-(n+1)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}=\\=2(-1+\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}})\rightarrow -2\text{ für }n\rightarrow \infty$$